Page 91 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 91

Testul 3

D.M.I. 3

Algebr˘, Elemente de analiz˘ matematic˘a, Geometrie s , i Trigonometrie
a
a

a
1. Se consider˘ ecuat , ia
3
2
4
x − x + mx + 2x + n = 0, (m, n ∈ R),
de r˘ad˘acini x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
2
2
2
2
a) S˘a se calculeze E = x + x + x + x .
1 2 3 4
a
b) Dac˘ 1 + i este r˘ad˘acin˘ a ecuat , iei, s˘ se calculeze celelalte r˘ad˘acini s , i parametrii m s , i
a
a
n.
√ √
p p
2. Dac˘ f : [1, ∞) → R este funct , ia f(x) = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1, atunci:
a
a
a) S˘ se arate c˘ ∀ x ∈ [2, ∞) avem 2 ≤ f(x) ≤ x, iar pentru x ∈ [1, 2] rezult˘ c˘ f(x) = 2.
a
a
a
b) Se defines , te s , irul x n+1 = f(x n ), ∀n ∈ N, unde x 0 ∈ [1, ∞). S˘a se arate c˘a (x n ) n este
convergent s , i s˘a se calculeze limita sa.
ß
ln x, dac˘ x ∈ (0, e)
a
3. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = , unde a s , i b
ax + b, dac˘ x ∈ [e, ∞)
a
sunt numere reale.
a) S˘a se determine parametrii a s , i b astfel ˆıncˆat f s˘a fie derivabil˘a pe domeniul ei de
definit , ie.
1 R 3
b) Pentru a = s , i b = 0 s˘a se calculeze f(x)dx.
e 2
a
4. Pe laturile (AB) s , i (AC) ale triunghiului echilateral ABC se consider˘ respectiv punctele
◦
a
a
D s , i E astfel ca AD ≡ CE s , i fie {M} = BE ∩ CD. S˘ se arate c˘ m(BMC) = 120 s , i s˘
a
÷
se calculeze ˆın funct , ie de latura triunghiului echilateral a, raza r a cercului ˆınscris.
√
5. S˘ se rezolve ecuat , ia: cos x − sin x = 2 cos 2x.
a
(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 2002)

3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro