Page 87 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 87

Å ã
3 3
1. Fie matricea A = ¸si G := {A(x) = I 2 + xA | x 6= −1/4}.
1 1
2
a) S˘a se arate c˘ A = 4A.
a
b) S˘a se arate c˘ G este parte stabil˘ ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricilor.
a
a
c) S˘a se arate c˘ (G, · ) este grup comutativ, unde ”·” este ˆınmult¸irea matricilor.
a
2
4
2. Fie polinomul f = X − 4X + 16.
√
a
a) S˘a se arate c˘ f( 3 − i) = 0.
b) S˘a se rezolve ˆın C ecuat¸ia f(z) = 0.
c) S˘a se descompun˘a polinomul ˆın factori ireductibili ˆın R[X] ¸si ˆın C[X].
SUBIECTUL al III-lea (30p)

2
x + x + 1
1. Fie funct¸ia f(x) = , x 6= 1.
x − 1
0
a) S˘a se calculeze f .
b) S˘se determine intervalele de monotonie ale lui f.

c) S˘a se determine asimptotele la graficul lui f.
1 ax + b
Z
2. Fie I(a, b, n) = √ , a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N.
n 2
0 x + 1
a) S˘a se calculeze I(0, 1, 2).

b) S˘a se calculeze I(1, 1, 2).
c) S˘a se calculeze I(1, 0, 4).

Testul 6
Daniela Curpene 6

SUBIECTUL I (30p)

a
1. S˘a se arate c˘ x = (1 − i) 2024 este un num˘ar real pozitiv.
2
2. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = x − 4x + m. S˘a se determine cea mai mare
valoare ˆıntreag˘ a lui m astfel ˆıncˆat vˆarful parabolei (graficul lui f) s˘a fie ˆın cadranul IV.
a
2
3. S˘a se reazolve ˆın R ecuat¸ia log (x + 1) = −3.
2
√
4. S˘a se determine num˘arul termenilor irat¸ionali din dezvoltarea (1 + 5 5) 100 .
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a dreapta d : x + 2y − 1 = 0 ¸si punctul A(1, 0) ce
√
apart¸ine dreptei d. S˘a se determine punctele B ce se afl˘ pe dreapta d astfel ˆıncˆat AB = 2 6.
a
−→ −→
6. Se consider˘ punctele A, B, C, necoliniare, astfel ˆıncˆat AB = 4, AC = 10 ¸si AB ·AC = 32.
a
S˘ se determine lungimea segmentului BC.
a
SUBIECTUL al II-lea (30p)
6
Doctorand, Universitatea din Pites , ti, daniela.curpene@yahoo.com