Page 88 - MATINF Nr. 9-10

˘
88 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Ñ é
1 1 1
1. Fie A(a, b, c) = 3a 3b 3c ¸si D(a, b, c) determinantul acesteia (unde a, b, c ∈ R).
5a 2 5b 2 5c 2
a) S˘a se calculeze D(1, 0, −1).

a
b) S˘a se determine x ∈ R astfel ˆıncˆat A(x, 0, −1) s˘a aib˘ rangul 2.
c) S˘a se arate c˘ dac˘a D(a, b, c) = 0 ¸si a 6= b, atunci a = c sau b = c.
a
a
2. Pe mult¸imea G = (−2, ∞) se define¸ste legea de compozit¸ie asociativ˘ x ◦ y = xy + 2(x +
y) + 2.
√
a) S˘a se determine inversul num˘arului x = 2 ˆın raport cu legea ”◦”.

b) S˘a se rezolve ˆın G ecuat¸ia x ◦ x ◦ x = x.

a
a
c) S˘ se arate c˘ funct¸ia f : G → R, f(x) = ln(x + 2) este izomorfism ˆıntre grupurile (G, ◦)
¸si (R, +).
SUBIECTUL al III-lea (30p)
3
1. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = x − 5x + 2024.
f(x)
a) S˘a se calculeze lim .
x→−∞ f(−x)

b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei.
a
c) S˘ se determine m ∈ R pentru care ecuat¸ia f(x) − 2024 = m are trei solut¸ii reale distincte.
Z 1 x n
∗
2. Se consider˘a I n := , n ∈ N .
x + 2024
2
0
a) S˘se calculeze I 2 .
1
b) S˘a se arate c˘ I 4 = − 2024I 2 .
a
3
c) S˘a se calculeze lim I n .
n→∞