Page 90 - MATINF Nr. 9-10

˘
90 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I
Ñ é
a 0 a
Fie matricele p˘atratice A(a) ∈ M 3 [R], A(a) = a a 0 , a ∈ R.
0 a a
a) S˘a se determine a astfel ˆıncˆat A(a) s˘a fie inversabile;
b) S˘ se determine valoarea parametrului real a pentru care
a
Ñ é
2 1 3
2
A(a) + (A(a)) = 3 2 1 ;
1 3 2
2
c) S˘ se rezolve ecuat , ia det A(a) − 2tr (A(a)) + tr A + 1 = 0;
a
d) S˘ se calculeze (A(a)) n
a
SUBIECTUL al II-lea
0
Fie funct , ia f : R → R, cu propriet˘at , ile f (x) − 3f(x) = 0 s , i f(0) = e, unde e este num˘arul
lui Euler.

a) S˘a se determine f(x);
f(x) − e
a
b) S˘ se calculeze lim ;
x→0 x
c) S˘a se arate c˘a ecuat , ia f(x) = m − e are cel mult o solut , ie pentru orice m ∈ R s , i s˘a se
determine m astfel ˆıncˆat, ˆın cazul ˆın care exist˘a solut , ie, aceasta s˘a se afle ˆın intervalul
[0,1];
5
3
d) S˘ se determine primitiva F a funct , iei f pentru care F(0) = e .
a
27
SUBIECTUL al III-lea
ˆ
In planul de coordonate XOY se consider˘a punctele A(3, 2) s , i B(5, 8). Prin punctul A se
a
a
ridic˘ o perpendicular˘ pe dreapta AB, care intersecteaz˘ axele OX s , i OY ˆın M, respectiv N.
a
Prin punctul B se duce o paralel˘a la MN, pe care se ia un punct P /∈ OY , astfel ˆıncˆat aria
triunghiului ABP s˘ fie 10.
a
a) S˘a se determine coordonatele punctelor M s , i N;
−−→ −−→
a
b) S˘ se calculeze |BN + 2BM|;
a
c) S˘ se determine coordonatele punctului P;
a
d) S˘ se determine aria patrulaterului MNBP.

2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com