Page 84 - MATINF Nr. 9-10

˘
84 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

SUBIECTUL al III-lea
√
a
1. Se consider˘ funct¸ia f : R → R, f(x) = x + 4.
2
00
2
0
a
a) Ar˘atat¸i c˘ (x + 4) · f (x) + x · f (x) = f(x), pentru orice x ∈ R.
b) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei spre −∞ la graficul funct¸iei f.
a
c) Ar˘atat¸i c˘ funct¸ia f nu este surjectiv˘a.
1
Z n
x
a
2. Se consider˘ ¸sirul (I n ) n∈N definit prin I n = dx.
∗
2x + 3
0
a) Calculat¸i I 1 ¸si I 2 .
1
∗
b) Ar˘atat¸i c˘ ¸sirul (I n ) n∈N verific˘ relat¸ia 2I n+1 + 3I n = , ∀n ∈ N .
a
a
∗
n + 1
c) Calculat¸i lim nI n .
n→∞
Testul 3
Raluca-Mihaela Georgescu 3
SUBIECTUL I (30p)
4
1. Ar˘atat¸i c˘ num˘arul (1 + i) + |3 + 4i| este natural.
a
2. Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat distant¸a dintre punctele de intersect¸ie ale graficului funct¸iei
2
f : R → R, f(x) = x − ax − 3 cu axa Ox s˘ fie 4.
a
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 5 2x − 5 x+1 + log 64 = log 16.
4
2
4. Calculat¸i probabilitatea ca alegˆand o submult¸ime din mult¸imea submult¸imilor nevide ale
a
unei mult¸imi cu 6 elemente, aceasta s˘a aib˘ trei elemente.
ˆ
5. In reperul cartezian XOY se consider˘ punctele A(2, 3), B(1, 5) ¸si C(−5, 3). Determinat¸i
a
a
ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A ¸si este paralel˘ cu mediatoarea segmentului BC.
π π
ˆ
ˆ
6. Determinat¸i aria triunghiului ABC, ¸stiind c˘ A = , B = ¸si raza cercului circumscris
a
4 3
triunghiului este R = 2 cm.
SUBIECTUL al II-lea (30p)

 (a + 1)x − y + z = a + 3
1. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii x + (a + 1)y − 2z = a − 4 , unde a este un para-
−x + y + z = a + 4

metru real.

a) Determinat¸i a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘ aib˘a solut¸ie unic˘a.
a
a
b) Verificat¸i dac˘ exist˘a a ∈ R astfel ˆıncˆat sistemul s˘ fie incompatibil.
a
¸
c) Stiind c˘ sistemul are solut¸ie unic˘a, s˘ se determine a > 0, astfel ˆıncˆat solut¸ia sistemului
a
a
s˘ fie ˆın progresie geometric˘a.
a
2. Pe mult¸imea numerelor reale se define¸ste legea de compozit¸ie ”∗”, x∗y = xy +ax+by +2.
¸
a) Stiind c˘a legea este asociativ˘a, determinat¸i valorile posibile pentru a ¸si b.
3
Lect. univ. dr., Universitatea din Pite¸sti, gemiral@yahoo.com