Page 83 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 83

∗
c) Determinat¸i ecuat¸ia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funct¸iei g : R → R, g(x) =
f(x)
.
x · e −x
2
x − 2x + 2
2. Se consider˘a funct¸ia f : R \ {2} → R, f(x) = .
x − 2
R 4 Ä 2 ä 7
a) Ar˘atat¸i c˘ f(x) − dx = .
a
3 x−2 2
√ √
b) Ar˘atat¸i c˘ orice primitiv˘ a funct , iei f este concav˘ pe intervalul [2 − 2, 2 + 2] \ {2}.
a
a
a
c) Determinat¸i volumul corpului obt¸inut prin rotat¸ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct¸iei
g : [0, 1] → R, g(x) = f(x).
Testul 2

Marius Macarie 2

SUBIECTUL I
Å ã 2022
2 + 3i
1. Determinat¸i partea real˘ a num˘arului complex z = .
a
3 − 2i
2
2. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = x + 4x − 2. Determinat¸i abscisele punctelor de
intersect¸ie a graficului funct¸iei f cu dreapta de ecuat¸ie y = −2x − 7.
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia lg(2x + 6) = 1 + 2 lg(2x − 3).
1
Å ã 6
∗
4
2
4. Determinat¸i termenul care-l cont¸ine pe x din dezvoltarea 2x + √ , unde x ∈ R .
3 2
x
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele M(1, −2) ¸si H(2, 4). S , tiind c˘a H este
ortocentrul triunghiului MNP, determinat¸i panta dreptei NP.
π 1

6. Determinat¸i x ∈ [0, 2π) pentru care sin x − = .
6 2
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
2 − a 2 1
a
1. Se consider˘ matricea A(a) = 1 3 − a 1 ¸si sistemul de ecuat¸ii
1 2 2 − a

 (2 − a)x + 2y + z = 0
x + (3 − a)y + z = 0 , unde a este num˘ar real.
x + 2y + (2 − a)z = 0

a) Determinat¸i num˘arul real a pentru care matricea A(a) are rangul doi.
b) Determinat¸i inversa matricei A(2).
2
2
2
c) Pentru a = 5, determinat¸i solut¸iile (x 0 , y 0 , z 0 ) ale sistemului pentru care x +y +z =
0
0
0
3.
2. Pe mult¸imea C a numerelor complexe se define¸ste legea de compozit¸ie ,,◦” prin z 1 ◦ z 2 =
z 1 · z 2 + i(z 1 + z 2 ) − 1 − i, pentru orice z 1 , z 2 ∈ C.
a) Demonstrat¸i c˘a z 1 ◦ z 2 = (z 1 + i)(z 2 + i) − i, pentru orice numere complexe z 1 ¸si z 2 .
b) Determinat¸i simetricul elementului z = 1 − 2i ˆın raport cu legea ,,◦”.
∗
n
c) Ar˘atat¸i c˘ z ◦ z ◦ . . . ◦ z = (z + i) − i, pentru orice n ∈ N ¸si z ∈ C.
a
| {z }
de n ori
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pite¸sti, macariem@yahoo.com