Page 81 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 81

Testul 5

Raluca Mihaela Georgescu 5

SUBIECTUL I
3 + 2i
1. Determinat , i modulul num˘arului complex z = .
2 − 3i
2. Determinat , i parametrul real m astfel ˆıncˆat graficele funct , iilor f : R → R, f(x) =
2
mx + 10x + 9 s , i g : R → R, g(x) = 2x + 5 s˘ aib˘a un singur punct de intersect , ie.
a
√ p
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia x + 4x = x + log 16.
2
a
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar n din mult , imea numerelor naturale de dou˘
a
cifre, n + 3 s˘ fie divizibil cu 17.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(3, 7), B(−1, 3). Determinat , i ecuat , ia
mediatoarei segmentului AB. √
6. Fie triunghiul ascut , itunghic ABC cu AB = 10, AC = 6 s , i tg (^A) = 3. Determinat , i
aria triunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea
Å ã
3 1
a
1. Se consider˘ matricele A = s , i A(x) = xI 2 + A, cu x ∈ R.
−5 −3
a) Calculat , i det(A(1)).
2
b) Ar˘atat , i c˘a (A(x)) = xA(x) + xA + 4I 2 .
4
c) Determinat , i valorile reale ale lui x astfel ˆıncˆat det(A(x)) = 256.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie ∗, x ∗ y = xy + x + 2y.
a) Calculat , i 2 ∗ (−3).
b) Rezolvat , i ecuat , ia x ∗ x = 4.
c) Determinat , i numerele naturale m s , i n astfel ˆıncˆat m ∗ n = 6.
SUBIECTUL al III-lea
√
2
2
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x + 1 − ln(x + 1).
√
2
x( x + 1 − 2)
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = .
2
x + 1
b) G˘asit , i intervalele de monotonie ale funct , iei.
√
2
2
c) Demonstrat , i c˘a x + 1 ≤ 1 + ln(x + 1), pentru orice x ∈ [−1, 1].
1
2 x
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x e + .
2
x + 1
1 π
R 2 x
a) Ar˘atat , i c˘a (f(x) − x e )dx = .
0 4
b) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este strict cresc˘atoare pe R.
a Å ã
R 1
a
c) Determinat , i a > 0, s , tiind c˘a f(x) − dx = e − 2.
2
x + 1
0
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com