Page 80 - MATINF Nr. 9-10

˘
80 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 4

Florentina-Alina Stefan 4
¸
SUBIECTUL I

1. Determinat , i partea imaginar˘a a num˘arului complex z = (3 + i)(2 − i).
2. Determinat , i valorile parametrului real m astfel ˆıncˆat axa Ox s˘a fie tangent˘a parabolei
2
asociate funct , iei f : R → R, f(x) = x + mx + 4.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (x + 2) = log (x + x − 2).
2
2
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar n din mult , imea numerelor naturale de dou˘a
cifre, acesta sa aib˘ cifra unit˘at , ilor divizibil˘a cu 3.
a
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(5, 7), B(−3, 5) s , i C(2, 8). Determinat , i
ecuat , ia medianei din C.
◦
6. Fie triunghiul ascut , itunghic ABC cu AB = 3, AC = 6 s , i ^A = 30 . Determinat , i aria
triunghiului ABC.
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
3 − a 2 0
a
1. Se consider˘ matricele A(a) = 2 3 − a 0 , cu a ∈ R.
2 0 3
a) Calculat , i det(A(−1)).
b) Determinat , i valorile reale ale lui a pentru care matricele A(a) sunt inversabile.
c) Determinat , i X ∈ M 3 (R), s , tiind c˘a A(2) · X = A(3).
y
x
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie ∗, x ∗ y = 2 x+y + 2 + 2 .
a) Calculat , i 1 ∗ 0.
b) Rezolvat , i ecuat , ia x ∗ (−x) = 3.
c) Determinat , i numerele naturale m s , i n astfel ˆıncˆat m ∗ n = 26.

SUBIECTUL al III-lea
2x − 4
2
1. Fie funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = ln(x ) − .
x
2(x − 2)
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = .
x 2
b) Determinat , i coordonatele punctului de extrem al funct , iei.
4
c) Demonstrat , i c˘a 2 ln x + ≥ 2 + 2 ln 2, pentru orice x ∈ (0, ∞).
x √
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x 3 x + 4.
2
2
R f(x)
a) Ar˘atat , i c˘a √ dx = 4.
2
x +4
0
b) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este convex˘ pe R.
a
a 5
∗
0
c) Determinat , i a ∈ N , s , tiind c˘a R f(x)f (x)dx = .
0 2

4
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, florentina.stefan@upit.ro