Page 79 - MATINF Nr. 9-10

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 79

Testul 3

Marius Macarie 3

SUBIECTUL I
8
1. Calculat , i modulul num˘arului complex z = (1 − i) .
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x − 2mx + 1, unde m este un num˘ar real.
Determinat , i valorile reale ale lui m pentru care vˆarful parabolei asociate funct , iei f este
situat deasupra axei Ox.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 lg(2x − 3) = lg(4x − 4x + 1).
4. Se consider˘a mult , imea A = {1, 2, 3, 4}. Determinat , i num˘arul de submult , imi ordonate ale
lui M care au cel put , in dou˘a elemente.
− → − → − → − → − → − →
5. Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat vectorii u = m i + 2 j s , i v = (m + 2) i − 4 j s , ˘a fie
ortogonali.
5
6. Calculat , i ctg x, x ∈ π, 3π , s , tiind c˘a sin x = − .
2 13
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é 
2 1 3  2x + y + 3z = 1
1. Se consider˘a matricea A(m) = 1 −1 1 s , i sistemul de ecuat , ii x − y + z = −1
1 2 m  x + 2y + mz = m
unde m este num˘ar real.

a) Determinat , i valorile reale ale lui m pentru care sistemul are solut , ie unic˘a.
b) Pentru m ∈ R \ {2}, rezolvat , i sistemul de ecuat , ii.
c) Aflat , i inversa matricei A(1).
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘ x ◦ y = 3(x + y −
a
2) − x · y.
a) Ar˘atat , i c˘a x ◦ y = 3 − (x − 3)(y − 3), pentru orice numere reale x s , i y.
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia (x + 1) ◦ (x + 1) ◦ (x + 1) = 11.
√ √ √ √
c) Calculat , i 3 −2022 ◦ 3 −2021 ◦ . . . ◦ 3 2021 ◦ 3 2022.

SUBIECTUL al III-lea
1. Se consider˘ funct , ia f : (−2, +∞) → R, f(x) = (x + 2) ln(x + 2) − x.
a
f(x) − f(−1)
a) Ar˘atat , i c˘a lim = 0.
x→−1 x + 1
b) Determinat , i intervalele de monotonie ale funct , iei f.
c) Demonstrat , i c˘a graficul funct , iei f nu admite asimptote verticale.
2x
2
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = (x + x + 1) · e .
Z 2 20
a) Ar˘atat , i c˘a f(x) · e −2x dx = .
0 3
e 1
Z
b) Calculat , i 3 f(ln x)dx.
1 x
c) Ar˘atat , i c˘a suprafat , a plan˘a delimitat˘a de graficul funct , iei f, axa Ox s , i dreptele de
2
ecuat , ii x = 0 s , i x = 1 are aria egal˘ cu 2e −1 .
a
2

3
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com