Page 78 - MATINF Nr. 9-10

˘
78 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Maria-Crina Diaconu 2

SUBIECTUL I
√ √
p p
∗
2
a
a
a
1. S˘ se arate c˘ num˘arul a ∈ N dac˘ a = 4 + 2 3 − 4 − 2 3.
2
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = x + 3x − 3. Determinat , i numerele reale m pentru
a
a
care dreapta y = 2mx − 1 intersecteaz˘ graficul funct , iei ˆıntr-un punct cu ordonata −5.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia:
x
3 2x+1 − 10 · 3 + 3 = 0.
4. Se consider˘a mult , imea M = {1, 2, 3, 7, 8, 9}. Determinat , i num˘arul submult , imilor lui M
care au cel put , in cinci elemente.
ˆ
a
5. In reperul cartezian xOy se consider˘ punctele A(−1, 3) s , i B(3, −5). Determinat , i ecuat , ia
mediatoarei segmentului AB.
6. Determinat , i numerele reale x ∈ [0, π], pentru care sin 2x = cos x.
SUBIECTUL al II-lea

Ñ é Ñ é
1 0 0 1 1 2
1. Se consider˘a matricele I 3 = 0 1 0 , A = 3 3 2 s , i M(a) = I 3 + aA, unde
0 0 1 2 2 2
a ∈ R.
a) Ar˘atat , i c˘a det(M(1)) = 7.
b) Determinat , i num˘arul real a pentru care M(a) este inversabil˘a.
c) Determinat , i matricea X ∈ M 3 (R) pentru care M(1) · X · M(−1) = M(0).
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie x ◦ y = xy + 3x − 3y − 12.
a) Calculat , i (1 ◦ 2) ◦ 3.
b) Determinat , i num˘arul natural n astfel ˆıncˆat n ◦ n = n.
c) Ar˘atat , i c˘a legea de compozit , ie ,,◦” nu admite element neutru.

SUBIECTUL al III-lea
x − 2
a
1. Se consider˘ funct , ia f : (2, ∞) → R, f(x) = 2 + ln .
x + 2
4
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , x ∈ (2, ∞).
2
x − 4
b) Calculat , i lim f(x).
x→+∞ Ç√ å Ç√ å
37 37
c) Demonstrat , i c˘a f < f .
3 2
x
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
a
1 + x + x 2
e e + 1
2
Z
a) Ar˘atat , i c˘a 1 + x + x 2 f(x) ln xdx = .
1 4
b) Demonstrat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este cresc˘atoare pe intervalul [0, +∞).
1
Z
c) Calculat , i f(x)dx.
0
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com