Page 69 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 69

6. S˘ se determine raza cercului circumscris triunghiului ∆ABC, s , tiind c˘ AB = 9, AC = 12,
a
a
BC = 15. (5p)
SUBIECTUL al II-lea (30p)

 mx + y + z = 1
1. Fie sistemul x + my + z = 1 , m ∈ R s , i A matricea asociat˘a sistemului.
x + y + mz = 1

a) S˘a se determine m astfel ˆıncˆat sistemul este compatibil determinat. (5p)

b) Pentru m = −2, s˘a se rezolve sistemul. (5p)
c) Pentru m = 0, s˘a se rezolve sistemul. (5p)

2. Pe mult¸imea R se defines , te legea de compozit¸ie x ◦ y = xy + 3x + 3y + 7.
(1 ◦ 2) ◦ 3
a) S˘a se calculeze . (5p)
1 ◦ (2 ◦ 3)
b) S˘a se arate c˘ legea ”◦” nu este asociativ˘a. (5p)
a
a
c) S˘a se arate c˘ legea ”◦” nu are element neutru. (5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)

x 2
1. Fie f : R \ {−2} → R, f(x) = .
x + 2
a) S˘a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f. (5p)

b) S˘a se determine punctele de extrem ale funct¸iei f. (5p)

c) S˘ se determine m ∈ R, astfel ˆıncˆat ecuat¸ia f(x) = m are exact dou˘ solut¸ii reale distincte.
a
a
(5p)
x
2. Se consider˘a f : R → R, f(x) = .
2
4
(x + 1)(x + 1)
Z 2
4
a) S˘a se calculeze (x + 1)f(x)dx. (5p)
0
1
Z
2
b) S˘a se calculeze (x + 1)f(x)dx. (5p)
0
a
c) S˘ se arate c˘ orice primitiv˘ a lui f este strict descresc˘atoare pe (−∞, 0]. (5p)
a
a