Page 72 - MATINF Nr. 8

˘
72 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a
i) Determinat¸i a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘ fie continu˘ ¸si derivabil˘a.
a
3
R
ii) Pentru a = 4, b = 0, calculat¸i f(x)dx.
1
5. i) Ar˘atat¸i c˘a, pentru n, k numere naturale cu n ≥ k, exist˘a relat¸ia

n + 1
k
C k+1 = C .
n
n+1
k + 1
1 1 1
2
1
0
n
ii) Calculat¸i suma: C + C + C + · · · C .
n n n n
2 3 n + 1
a
a
Geometrie plan˘ s , i ˆın spat , iu, Geometrie analitic˘ s , i Trigonometrie
1. Fie x, y, z trei numere pozitive direct proport¸ionale cu numerele m − 1, m, m + 1, unde
m ≥ 2.
a) Demonstrat¸i c˘a x , y, z pot fi lungimile laturilor unui triunghi ABC;
a
b) Determinat¸i pe m astfel ˆıncˆat triunghiul s˘ fie dreptunghic;
c) Poate fi triunghiul isoscel? Dar echilateral?

2. Prelungim diagonala DB a p˘atratului ABCD cu BN = AB. Fie M ∈ DC (C ˆıntre D ¸si
T
M) astfel ˆıncˆat m(MAD) = 3m(AMD) ¸si {P} = AM DN.
÷
÷
a) Calculat¸i m(MAD), m(AMD) ¸si m(ABN);
’
÷
÷
a
b) Ar˘atat¸i c˘ MA este bisectoarea CAB;
’
c) Ar˘atat¸i c˘ patrulaterul ANMD este inscriptibil.
a
3. S˘a se rezolve ecuat¸iile:
2
a) 2 cos x − (2a + 1) cos x + a = 0, a ∈ R;
b) cos x − sin x = cos 2x.
′
′
′
′
4. Fie prisma patrulater˘ regulat˘a ABCDA B C D cu muchia bazei x ¸si muchia lateral˘a y.
a
a) S˘a se calculeze aria total˘ ¸si volumul prismei ˆın funct¸ie de x ¸si y;
a
′
′
b) S˘a se calculeze lungimea segmentului A C ¸si lungimea segmentului A O, unde O este
mijlocul segmentului BD.
5. Se dau punctele A(−1, 1), B(3, 3), C(2, −1).
a) S˘a se scrie ecut¸iile dreptelor AB, AC ¸si BC;
a
b) S˘ se scrie ecuat¸ia ˆın˘alt¸imii ¸si ecuat¸ia medianei din punctul A;
c) S˘a se g˘aseasc˘a coordonatele centrului de greutate G al triunghiului ABC ¸si perimetrul
triunghiului ABC.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 2001)