Page 68 - MATINF Nr. 8

˘
68 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Ñ é
1 0 0
b) S˘a se arate c˘ f(1) · f(−1) = I 3 , unde I 3 = 0 1 0 . (5p)
a
0 0 1
a
c) S˘a se demonstreze c˘ f(x + y) = f(x) · f(y), ∀ x, y ∈ R. (5p)
2. Pe mult¸imea M = [0, ∞), se defines , te legea de compozit¸ie

y
x
x ◦ y = ln(e + e − 1).
a) S˘a se calculeze 1 ◦ 0. (5p)

a
b) S˘a se arate c˘ legea este asociativ˘a. (5p)
c) Pentru n ∈ N, n ≥ 2, s˘a se determine x ∈ M astfel ˆıncˆat x ◦ x ◦ . . . ◦ x = 2x. (5p)
| {z }
n ori
SUBIECTUL al III-lea (30p)

ln x
1. Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f(x) = √ .
x
2 − ln x
′
a) S˘a se verifice c˘a f (x) = √ , ∀ x ∈ (0, ∞). (5p)
2x x
b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f. (5p)
√ √
2
a
c) S˘a se demonstreze c˘ 2 5 ≤ 5 . (5p)
√
2
2. Se consider˘a funct¸ia f : [0, 1] → R, f(x) = x 3 − x .
1
Z
2
a) S˘a se calculeze f (x)dx. (5p)
0
1
Z
b) S˘a se calculeze f(x)dx. (5p)
0
x
Z
f(t)dt
c) S˘a se calculeze lim 0 . (5p)
x→0 x 2
TESTUL 5

a
Antonio Nuic˘ 5
SUBIECTUL I (30p)
√ 5π
a
1. S˘a se arate c˘ 144 − log 27 + sin / ∈ N. (5p)
3
6
2
2. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat x − mx + 1 > 0, pentru oricare x ∈ R. (5p)
2
3. S˘a se rezolve ecuat¸ia ln(x − 5x + e + 6) = 1. (5p)
4. S˘a se determine cˆate numere de 3 cifre au cifrele pare s , i distincte. (5p)
−→ −→
a
a
5. Dac˘ A(1, 2) s , i B(2, 1), s˘ se determine coordonatele punctelui C, astfel ˆıncˆat AB = OC,
unde O(0, 0). (5p)
5
Lect.univ.dr., Universitatea din Pites , ti, antonio 74nm@yahoo.com