Page 66 - MATINF Nr. 8

˘
66 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

b) S˘a se arate c˘ f este surjectiv˘a, dar nu este injectiv˘a. (5p)
a
a
a
a
c) S˘ se arate c˘ port¸iunea din grafic cuprins˘ ˆıntre punctele A(a, f(a)) s , i B(−2, f(−2)) se
a
afl˘ sub segmentul AB, oricare ar fi a < −2. (5p)
1
2. Se consider˘a funct¸ia f : (1, ∞) → R, f(x) = .
ln x
2
Z 3 ï 1 + x ln x ò 19
a
a) S˘a se arate c˘ − f(x) dx = . (5p)
ln x 3
2
e
Z 2
− 1 2
b) S˘a se calculeze e f(x) · f (x)dx. (5p)
e
Z e+x
1
c) S˘a se calculeze l = lim f(t)dt. (5p)
x→0 x
e−x
TESTUL 3
Emilia Jinga 3

SUBIECTUL I (30p)
√
1. S˘a se arate c˘ 2 log 3 + log 4 − 3 27 = 0. (5p)
a
2
9
2
2
2. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = x − 2x + m , unde m ∈ R. S˘a se determine
a
num˘arul natural n pentru care parabola (grafic al funct¸iei) este tangent˘ axei Ox. (5p)
√
3. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia x − 6x + 9 = x − 3. (5p)
2
a
a
4. S˘ se calculeze probabilitatea ca, alegˆand simultan dou˘ numere din mult¸imea {0, 1, . . . , 10},
a
cel put¸in unul dintre numere s˘ nu fie num˘ar prim. (5p)
ˆ
5. In reperul cartezian xOy, se consider˘a punctele A(1, 3) s , i B(7, 12). S˘a se determine
−−→ −→
1
coordonatele punctului M, s , tiind c˘a AM = AB. (5p)
3
π 7π AB √
ˆ
6. In triunghiul ABC cu B = s , i A = , s˘a se arate c˘ = 2. (5p)
a
6 12 AC
SUBIECTUL al II-lea (30p)
Å ã Å ã
9 3 1 0
1. Se consider˘a ˆın mult¸imea M 2 (R) matricele A = s , i I 2 = , iar X(a) =
3 1 0 1
I 2 + aA, unde a ∈ R.
2
a
a) S˘a se arate c˘ A = 10A. (5p)
a
b) S˘a se arate c˘ X(a) · X(b) = X (a + b + 10ab), ∀ a, b ∈ R. (5p)
c) S˘a se determine numerele naturale a s , i b, pentru care det (X(a) · X(b)) = 11. (5p)
π π

2. Pe M = − , , se defines , te legea x ◦ y = arctg (tg x + tg y).
2 2
π π

a) S˘a se arate c˘ − ◦ = 0. (5p)
a
3 3
a
b) S˘a se arate c˘ e = 0 este elementul neutru al legii de compozit¸ie ”◦”. (5p)
3
Profesor, Colegiul Nat¸ional Vlaicu-Vod˘a, Curtea de Arges , , emilia.jinga@cn-vlaicuvoda.info