Page 65 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 65

a) S˘a se calculeze I 1 . (5p)

b) S˘a se arate c˘ s , irul (I n ) n≥1 este convergent s , i s˘a se calculeze lim I n . (5p)
a
n→∞
c) S˘a se calculeze lim nI n . (5p)
n→∞

TESTUL 2

M˘ad˘alin Avram 2

SUBIECTUL I (30p)
a − i 1 − ai
1. Se consider˘a num˘arul complex z = + . S˘a se determine a ∈ R pentru care
2i − 1 1 + 2i
|z| = Re(z). (5p)
2. S˘a se arate c˘a pentru orice numere reale a, b, c, graficul funct¸iei f : R → R, f(x) =
2
(x − a)(x − b) − c , are cel put¸in un punct comun cu axa Ox. (5p)
2
3. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia x lg x = 1000x . (5p)
ˆ
a
a
4. O grup˘ de student¸i trebuie s˘ programeze 4 examene ˆın 8 zile. In cˆate moduri se poate
a
face aceasta, dac˘a primul examen trebuie s˘ fie dat ˆın ziua a doua? (5p)
ˆ
a
5. In reprerul cartezian xOy, se consider˘ punctele A(5, 0) s , i B(0, 12). S˘ se afle distant¸a de
a
la centrul de greutate la centrul cercului circumscris triunghiului AOB. (5p)
3
3
6. Dac˘ sin x + cos x = a, s˘a se afle valoarea expresiei sin x + cos x. (5p)
a
SUBIECTUL al II-lea (30p)

x + y + z = 14

1. Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii 2x + ay − z = −8 , a, b ∈ R.
ax + 3y + az = b + 4

a) S˘a se afle num˘arul real a, pentru care sistemul are solut¸ie unic˘a. (5p)
b) Pentru b = 2, s˘a se afle num˘arul real a ∈ R \ {3}, s , tiind c˘a solut¸ia sistemului are forma
(x 0 , y 0 , z 0 ), cu x 0 , y 0 , z 0 ˆın progresie aritmetic˘a. (5p)

c) Dac˘a a = 3, s˘a se determine num˘arul real b pentru care sistemul este compatibil. (5p)
xy
2. Pe G = (0, 1), se defines , te legea de compozit¸ie x ◦ y = .
2xy − x − y + 1
xy
a
a) S˘a se arate c˘ x ◦ y = . (5p)
1 (2x − 1)(2y − 1) + 1
2 2
b) S˘a se studieze existent¸a elementului neutru. (5p)
ˆ
c) In ipoteza c˘ legea este asociativ˘a, s˘ se rezolve ˆın R ecuat¸ia x ◦ x ◦ x = 1. (5p)
a
a
SUBIECTUL al III-lea (30p)
√
1. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = 3 x − 3x + 2.
3
a
a) S˘a se determine asimptota oblic˘ a graficului funct¸iei f spre +∞. (5p)
2
Profesor, Liceul Tehnologic Auto, Curtea de Arges , , avrammadalin@yahoo.com