Page 63 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 63

Testul 5

Maria-Crina Diaconu 5

SUBIECTUL I

1. Determinat , i num˘arul real m, m > 1, pentru care numerele m − 1, 4 s , i m + 8 sunt termeni
consecutivi ai unei progresii geometrice.
2
2. Se consider˘a funct , ia f : (−1, 1) → R, f(x) = −x + 5. Demonstrat , i c˘a funct , ia f este par˘a.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

log (5 − x) = 2 − log (25 − x).
4
4
4. Determinat , i num˘arul funct , iilor f : {3, 4, 5} → {3, 4, 5, 6} strict cresc˘atoare.
5. Se consider˘a A, B, C s , i D patru puncte coplanare, P mijlocul lui AB, Q mijlocul lui DC.
−→ −−→ −−→
Ar˘atat , i c˘a 2PQ = BC + AD.
√ 2π
6. Calculat , i lungimea laturii AC a △ABC s , tiind c˘a AB = 2, BC = 2 3 s , i ∢B = .
3
SUBIECTUL al II-lea
Å ã
p + 3 p + 2
a
1. Se consider˘ matricea A(p) = , unde p este num˘ar real.
p + 1 p
a) Ar˘atat , i c˘a det(A(0)) = −2.
b) Ar˘atat , i c˘a matricea A(p) este inversabil˘a pentru orice num˘ar real p.
c) Demonstrat , i c˘a, dac˘a p s , i q sunt numere ˆıntregi pare s , i X ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat
X · A(p) = A(q), atunci elementele matricei X sunt numere ˆıntregi.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘ x∗y = x+4xy +y.
a
a) Determinat , i elementul neutru al legii de compozit , ie ,,∗”.
Å ã Å ã
1 1 1
b) Demonstrat , i c˘a x ∗ y = 4 x + y + − , ∀ x, y ∈ R.
4 4 4
c) Calculat , i partea ˆıntreag˘ a num˘arului
a
Å ã Å ã Å ã
1 1 1
t = − ∗ − ∗ . . . ∗ − .
2 4 2022

SUBIECTUL al III-lea
2
1. Se consider˘ funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = x − 2 ln x.
a
−2(1 − x)(1 + x)
′
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = .
x
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la G f ˆın punctul de abscis˘a x = 1 situat pe graficul
funct , iei f.
2
c) Demonstrat , i c˘a x ≥ 1 + 2 ln x, pentru orice x ∈ (0, ∞).
1 + x
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = .
a
3x + 1
2
3 15
Z
2
a) Ar˘atat , i c˘a f(x) · (3x + 1)dx = .
0 2
3 1 ln 28
Z Å ã
b) Ar˘atat , i c˘a f(x) − 2 dx = .
0 3x + 1 6 √
3 1 3 √
Z
c) Determinat , i num˘arul real a pentru care x·f(x)dx = 1+ ln 28− arctg (a 3).
0 2a 9
5
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com