Page 62 - MATINF Nr. 8

˘
62 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 4

Marius Macarie 4

SUBIECTUL I

1. Determinat , i suma primilor 2022 termeni ai progresiei aritmetice (a n ) n≥1 , s , tiind c˘a a 1 =
−1000 s , i a 6 = −800.
2
a
2. Se consider˘ funct , ia f : R → R, f(x) = −2x + 3x − 5. Determinat , i valorile reale ale lui
x pentru care f(x) ≥ −4.
√ √ √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 x−3 · 32 = 4 x−3 .
4. Determinat , i num˘arul de submult , imi ordonate cu cel put , in 3 elemente ale mult , imii
{1, 2, 3, 4, 5}.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(2, 4), B(a, −a + 1) s , i C(−3, 0), unde
−−→ −→
a este un num˘ar real. Determinat , i num˘arul real a pentru care vectorii OB s , i AC sunt
perpendiculari.
◦
6. Determinat , i perimetrul triunghiului ABC, s , tiind c˘a AB = 4, BC = 3 s , i m(∢B) = 120 .
SUBIECTUL al II-lea
Ö è
1 + 2x 0 4x
a
1. Se consider˘ matricea A(x) = 0 1 0 unde x este un num˘ar real.
−x 0 1 − 2x
3
a) Ar˘atat , i c˘a det (A (1)) = 1.
b) Demonstrat , i c˘a A(x) · A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x, y.
c) Determinat , i X ∈ M 3 (R) astfel ˆıncˆat A(1) · X = A(2).
p
2 2
2
2
2. Pe mult , imea G = (3, ∞) se defines , te legea de compozit , ie x ∗ y = x y − 9x − 9y + 90.
p
2
2
a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = (x − 9) (y − 9) + 9, pentru orice x, y ∈ G.
b) Demonstrat , i c˘a legea de compozit , ie ,,∗” este asociativ˘a.
c) Demonstrat , i c˘a f(x · y) = f(x) ∗ f(y), pentru orice x, y ∈ (0, ∞), unde f : (0, ∞) →
√
(3, ∞), f(x) = x + 9.
SUBIECTUL al III-lea
2
Å ã
a
1. Se consider˘ funct , ia f : , +∞ → (0, +∞), f(x) = ln(3x + 2) − ln(3x − 2).
3
a) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘ x = 1.
a
b) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este convex˘a.
c) Demonstrat , i c˘a funct , ia f este bijectiv˘a.
√
2
a
2. Se consider˘ funct , ia f : (−4, 4) → R, f(x) = 16 − x .
2
Z e f (x) 33 − e 2
a) Ar˘atat , i c˘a dx = .
x 2
1
b) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a lui f are un punct de inflexiune.
Z 2
c) Calculat , i |xf(x)|dx.
−2
4
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com