Page 61 - MATINF Nr. 8

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 61

Testul 3

Monica Dumitrache 3

SUBIECTUL I

2 2
1. Ar˘atat , i c˘a num˘arul N = (1 + i) + (1 − i) este num˘ar natural.
2
2. S , tiind c˘a x 1 s , i x 2 sunt r˘ad˘acinile ecuat , iei x + 2x − 1 = 0, determinat , i
x 1 + x 2 − 5x 1 x 2 .

2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log (3x + x) − log 4 = 0.
5 5
4. Determinat , i cˆate numere naturale pare de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale
mult , imii {1, 2, 3, 4, 5}.
− → − → − → − → − →
5. Determinat , i num˘arul real a pentru care vectorii u = 3 i + (a + 2) j s , i v = (a − 1) i −
− →
2 j sunt ortogonali.
π

4
4
6. Ar˘atat , i c˘a sin − 2x = cos x − sin x.
2
SUBIECTUL al II-lea
Å 2 ã
1 x
1. Se consider˘ matricea M (x) = , unde x ∈ R.
a
x 1
a) Ar˘atat , i c˘a det (M (2)) = −7.
b) Demonstrat , i c˘a matricea M (x) este inversabil˘a pentru orice x ∈ R \ {1}.
Å ã
100 101
c) Determinat , i numerele reale x pentru care M (x) · M (1) − M (0) = .
11 10
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a
√ √ √
x ⊗ y = xy − 3x − 3y + 3 + 3.
√ √
a) Ar˘atat , i c˘a 1 ⊗ 3 = 3.
b) Determinat , i x ∈ R astfel ˆıncˆat x ⊗ x < x.
√
x
x
c) Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia 3 ⊗ 9 = 3.
SUBIECTUL al III-lea

1. Se consider˘ funct , ia f : (2, +∞) → R, f (x) = 1 + 1 .
a
x−1 x−2
′
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = − 1 2 − 1 2 , x ∈ (2, +∞).
(x−1) (x−2)
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 3, situat
pe graficul funct , iei f.
c) Determinat , i imaginea funct , iei f.
3(x−1)(x+1)
a
2. Se consider˘ funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = .
x
1
3
a) Ar˘atat , i c˘a ∫ f (x) + 3 dx = .
x 2
0
3 2
b) Demonstrat , i c˘ funct , ia F : (0, +∞) → R, F (x) = x −3 ln x+2022 este o primitiv˘
a
a
2
a funct , iei f.
a
c) Ar˘atat , i c˘ volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
g : [1, 2] → R , g (x) = f (x) este mai mare decˆat 7π.
3
Profesor, Colegiul Economic ,,Ion Ghica”, Tˆargovis , te, dumitrache m0nica@yahoo.com