Page 60 - MATINF Nr. 8

˘
60 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Florentina-Alina Stefan 2
¸

SUBIECTUL I
√
a
a
1. S˘ se arate c˘ num˘arul 3 64 + log 8 este natural.
2
2. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat vˆarful parabolei asociate funct¸iei f : R → R,
2
f(x) = x − (m + 2)x + m s˘ fie ˆn al treilea cadran.
ı
a
√
2
a
3. S˘ se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 3 x + 3x + 10 = 2.
√ √ √ √
4. S˘a se calculeze probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult¸imea { 1, 2, 3, · · · , 100},
acesta s˘a fie multiplu de 4.
5. Fie punctele A(1, 2), B(3, −1), C(2, 5). S˘a se determine lungimea medianei AM a
triunghiului ABC.
3
a
6. S˘ se afle aria triunghiului ABC, ¸stiind c˘a AB = 5, AC = 6 ¸si cos A = .
5
SUBIECTUL al II-lea
Ñ é
a a 0
1. Se consider˘ matricele A(a) = −a 0 0 , a ∈ R.
a
0 0 a
a) S˘a se arate c˘ A(a) + A(−a) = O 3 .
a
b) S˘a se verifice dac˘a A(2) este inversabil˘a, iar ˆın caz afirmativ s˘a se determine inversa
sa.
c) S˘ se g˘aseasc˘ o matrice B ∈ M 3 (R), B ̸= O 3 ¸si B ̸= I 3 astfel ˆıncˆat AB = BA.
a
a
2. Pe mult¸imea R se define¸ste legea de compozit¸ie ” ∗ ”, x ∗ y = xy − 4x − 4y + 20.
a
a) S˘a se arate c˘ x ∗ y = (x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice x, y ∈ R.
3
b) S˘ se rezolve ˆın R ecuat¸ia x ∗ x = C .
a
6
2
0
1
4
3
c) S˘ se calculeze C ∗ C ∗ C ∗ C ∗ C .
a
4
4
4
4
4
SUBIECTUL al III-lea
2
3
1. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) = x − 6x + 9x + 5.
′
a) S˘a se rezolve ecuat¸ia f (x) = 0.
a
b) S˘ se studieze convexitatea funct¸iei.
√ √
a
a
c) S˘ se arate c˘ f( 5) − f( 10) ≤ 4.
e 2x
2. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) = .
2
x + 1
1 2
R e − 1
2
a
a) S˘a se arate c˘ (x + 1)f(x)dx = .
0 2
a
b) S˘ se arate c˘ orice primitiv˘ a funct¸iei f este convex˘ pe R.
a
a
a
1
R
2
c) S˘ se demonstreze c˘ f(x)dx ≤ e .
a
a
0
2
Lect.univ.dr., Universitatea din Pite¸ti, florentina.stefan@upit.ro
s