Page 58 - MATINF Nr. 8

˘
58 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) 6 cm; b) 12 cm; c) 18 cm; d) 9 cm.

′
′
′
′
′
5. Fie cubul ABCDA B C D ¸si punctele M ¸si N mijloacele laturilor AB ¸si CC . Dac˘a
√
MN = 3 6 cm, atunci volumul cubului este:
3
3
3
3
a) 216 cm ; b) 36 cm ; c) 81 cm ; d) 27 cm .
a
a
a
a
a
6. Se consider˘ V ABCD piramid˘ patrulater˘ regulat˘ cu toate muchiile congruente. Dac˘
√
2
aria triunghiului △V BC este egal˘a cu 36 3 cm , atunci aria sect¸iunii diagonale V AC
este egal˘a cu:
√
2
2
2
2
a) 72 cm ; b) 144 cm ; c) 72 2 cm ; d) 12 cm .
SUBIECTUL al III-lea
Scriet¸i rezolv˘arile complete.
3
2
a
1. Se consider˘ egalitatea: (x − 1)(x + 1)(x + 3) = x + ax + bx + c.
a) Determinat¸i cele trei numere reale a, b, c astfel ˆıncˆat s˘a existe egalitatea de mai sus,
pentru orice num˘ar real x.
2
b) Folosind valorile lui a, b, c determinate anterior, rezolvat¸i ˆın R inecuat¸ia ax +bx+c <
2
3x .
√
a
2. Se consider˘ num˘arul a = 1 + 2 + 3 + ... + 120 + 363 · 7.
a) Ar˘atat¸i c˘ num˘arul a este rat¸ional.
a
√
b) Aflat¸i cea mai mic˘a valoare natural˘a a lui b pentru care a + b ∈ Q, unde valoarea
lui a este determinat˘ anterior.
a
1
∗
3. Se consider˘ funct¸ia f : R → R, f(x) = 1 + .
a
x
1 1
Å ã Å ã
a) S˘a se calculeze f − + f .
2 2
b) Determinat¸i valoarea produsului f(2) · f(3) · ... · f(2022).
2
4. Fie expresia E(x) = x(x + 2)(x + 2x − 2) + 1, x ∈ R.
a) Demonstrat¸i c˘a E(a) este p˘atrat perfect, oricare ar fi a ∈ N.
E(x) − 1
b) Rezolvat¸i ecuat¸ia = 1, x ∈ R \ {−2, 0}.
2
x + 2x
5. Fie triunghiul isoscel ABC, [AB] ≡ [AC], M, N, P mijloacele laturilor [AB], [AC], [BC],
BC = 12 cm ¸si AP = 8 cm.
a) Demonstrat¸i c˘a patrulaterul AMPN este romb.
b) Calculat¸i aria rombului AMPN.
◦
6. Pe planul rombului ABCD, cu m(∢A) = 60 ¸si AB = 24 cm se ridic˘a perpendiculara
AM, AM = 10 cm. Calculat¸i:
a) aria triunghiului △MBD.
b) distant¸a de la punctul A la planul (MBD).