Page 56 - MATINF Nr. 8

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) 1/2; b) 1/4; c) 1/6; d) 1/8.

5. Se consider˘a cercul C(O, R) ¸si punctele A, B sunt situate pe cerc astfel ˆıncˆat triunghiul
AOB este echilateral, avˆand lungimea laturii AB = 6 cm. Lungimea arcului de cerc mic
⌢
AB este egal˘a cu:

a) 2π cm; b) 36 cm; c) 6π cm; d) 12π cm.
−1
−1
6. Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt invers proport¸ionale cu numerele 3 , 4 ,
−1
5 , iar suma lungimilor laturilor sale este egal˘ cu 96 cm. Lungimea diagonalei paraleli-
a
pipedului este egal˘ cu:
a
√ √
a) 6 cm; b) 12 cm; c) 12 cm; d) 10 2 cm.
SUBIECTUL al III-lea

Scriet¸i rezolv˘arile complete.
1. Media aritmetic˘a a dou˘a numere naturale este egal˘a cu 6, iar media lor armonic˘a este
8
egal˘ cu .
a
3
(a) Stabilit¸i dac˘ suma numerelor este 12.
a
(b) Calculat¸i media geometric˘ a celor dou˘ numere.
a
a
2
2. Se consider˘ expresia E(x) = (3x − 1) − 1, x ∈ R.
a
1
Å ã
(a) Determinat¸i valoarea E + 1.
3
(b) Ar˘atat¸i c˘ E(x) este divizibil˘ cu 3, pentru oricare valoare ˆıntreag˘a a lui x.
a
a
3. Se consider˘ funct¸ia liniar˘a f : R → R, f(x) = mx + 3, unde m ∈ R.
a
(a) Determinat¸i valoarea lui m, ¸stiind c˘a graficul funct¸iei f trece prin punctul A(2, 5).
5
(b) Pentru m = 1, determinat¸i valorileˆıntregi ale lui x, x ̸= −2, pentru care ∈ Z.
f(x) − 1
4. Fie paralelogramul ABCD, cu AC ∩BD = {O}, punctele M ¸si N sunt mijloacele laturilor
AB ¸si BC, iar G 1 ¸si G 2 centrele de greutate ale triunghiurilor ADB ¸si DBC.
(a) Dac˘a OM = 5 cm ¸si ON = 6 cm, calculat¸i perimetrul paralelogramului ABCD.
AC
a
(b) Ar˘atat¸i c˘ AG 1 = .
3
5. Sect¸iunea axial˘ a unui cilindru circular drept este dreptunghiul ABCD, avˆand dimensiu-
a
nile AB = 6 cm ¸si AD = 4 cm ¸si punctul O centru bazei. Determinat¸i:
(a) sinusul unghiului format de dreptele DO ¸si CO.
(b) distant¸a de la punctul C la dreapta DO.
′
′
′
′
a
a
a
6. Se consider˘ prisma triunghiular˘a regulat˘ dreapt˘ ABCA B C , cu AB = AA = 12 cm.
AM
Fie punctul M situat pe dreapta AB, astfel ˆıncˆat = 2 ¸si N ∈ (AC) astfel ˆıncˆat
MB
NC = 4 cm. S˘a se determine:
′
(a) tangenta unghiului format de dreapta A M cu planul (ABC).
′
(b) cosinusul unghiului format de planul (A MN) cu planul (ABC).