Page 73 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 73

b) S˘a se demonsreze c˘a, dac˘a A · X = X · A, unde X ∈ M 3 (C), atunci exist˘a a, b, c ∈ C
Ž
„
a 0 0
astfel ˆıncˆat X = 0 b 0 . (5p)
0 0 c
c) S˘a se determine X ∈ M 3 (C) astfel ˆıncˆat X 2021 = A. (5p)

2. Pe mult¸imea M = (0, 1), se define¸ste legea de compozit¸ie asociativ˘a

xy
x ◦ y = , x, y ∈ M.
xy + (1 − x)(1 − y)

a) S˘a se arate c˘a e = 1 este elementul neutru al legii de compozit¸ie ”◦”. (5p)
2
b) S˘a se determine x ∈ M pentru care x ◦ x ◦ x = 1”. (5p)
c) S˘a se arate c˘a nu exist˘a nici un element x ∈ M pentru care simetricul s˘au ˆın raport cu
1
legea ”◦” s˘a fie egal cu . (5p)
x
SUBIECTUL al III-lea (30p)
e x+1
1. Se consider˘a funct¸ia f : R \ {−1} → R, f(x) = .
x + 1
x
0
a) S˘a se arate c˘a f (x) = e x+1 , pentru oricare x ∈ R \ {−1}. (5p)
(x + 1) 2
b) S˘a se determine num˘arul real a, a 6= −1, ¸stiind c˘a tangenta la graficul funct¸iei ˆın punctul
(a, f(a)) este paralel˘a cu axa Ox. (5p)
c) S˘a se demonstreze c˘a f(x) ≥ e, pentru oricare x ∈ (−1, ∞). (5p)

ln x
2. Se consider˘a funct¸ia f : (0, 4) → R, f(x) = .
4 − x
e
Z
a) S˘a se calculeze (4 − x)f(x)dx. (5p)
1
3 3
Z Z
b) S˘a se arate c˘a f(x)dx = f(4 − x)dx. (5p)
1 1
Z 2
2 ln 2 − 1 2 ln 2 − 1
c) S˘a se arate c˘a < f(x)dx < . (5p)
3 1 2

TESTUL 4

Marinela Ogiolan 4

SUBIECTUL I (30p)
 ‹
1 1 2022
1. S˘a se calculeze − . (5p)
1 − i 1 + i

2. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f(x) = 2x + 1. S˘a se rezolve ecuat¸ia f(f(x)) = 0. (5p)

3. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2 2x+1 − 5 · 2 x+1 + 4 = 0. (5p)
4
Liceul Tehnologic Auto, Curtea de Arge¸s, mogiolan@yahoo.com