Page 77 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 77

SUBIECTUL al II-lea
È
1. Fie f : (0, 1] → R, f(x) = x x . S˘a se determine punctele ˆın care funct , ia este derivabil˘a
1−x
s , i s˘a se traseze graficul s˘au.
2
2. Fie f : R → R, f(x) = x − 2|x|. S˘a se arate c˘a funct , ia este integrabil˘a s , i s˘a se calculeze
aria subgraficului restrict , iei lui f la [−1, 1].

SUBIECTUL al III-lea

1. S˘a se rezolve ecuat , ia:
2
2
sin x + 4 sin x cos x − 2 cos x = 2
2. S˘a se afle m˘asurile unghiurilor unui triunghi MNP dac˘a avem ˆındeplinite condit , iile:
M = 2π + N s , i R = 8.
3 r

Testul 3

D.M.I. 3

Algebr˘a s , i Elemente de analiz˘a matematic˘a

1. S˘a se determine mult , imile A s , i B, precum s , i numerele p s , i q, s , tiind c˘a:

2
2
A = {x ∈ R| x + x + p = 0}, B = {x ∈ R| x + qx − 4 = 0}, A ∪ B = {−2, −1, 1, 4}.
€ Š n
x
2. S˘a se determine n s , i x dac˘a ˆın dezvoltarea 3 2 + 3 1−x suma coeficient , ilor binomiali ai
2
primilor 3 termeni este egal˘a cu 22, iar suma dintre termenul al treilea s , i termenul al
§
cincilea este 420.  ‹ ª
a b
2
2
3. Fie M = A ∈ M 2 (R)| A = , a + b = 1 .
−b a
a) Ar˘atat , i c˘a M ˆımpreun˘a cu ˆınmult , irea matricelor formeaz˘a un grup comutativ.
b) Determinat , i elementele mult , imii M ∩ M 2 (Z).
p √ p √
4. Fie f : [2, ∞) → R, f(x) = x + 2 x − 1 − x + 2 − 4 x − 2. S˘a se studieze continui-
tatea s , i derivabilitatea funct , iei f.
π
2 Z
sin 2x
5. Se d˘a integrala I = dx.
2
1 + sin x
0
a) S˘a se verifice condit , iile de folosire a primei metode de schimbare de variabil˘a.
b) S˘a se arate c˘a I = ln 2.

Geometrie plan˘a s , i ˆın spat , iu, Geometrie analitic˘a s , i Trigonometrie

1. Se d˘a p˘atratul ABCD de latur˘a a. Pe laturile (BC) s , i (CD) se iau punctele E, respectiv
1 2
F astfel ˆıncˆat BE = a s , i CF = a. Se cere:
3 9
a) S˘a se arate c˘a triunghiul AEF este dreptunghic s , i s˘a se calculeze aria cercului
circumscris acestui triunghi.
3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro