Page 74 - MATINF Nr. 7

˘
74 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

4. S˘a se determine probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult¸imea numerelor naturale de
dou˘a cifre ab, s˘a avem a + b = 5. (5p)

5. Se consider˘a dreptele de ecuat¸ii d 1 : x − y = 0 ¸si d 2 : 2x − 2y − 1 = 0 S˘a se calculeze
distant¸a dintre cele dou˘a drepte. (5p)
π 1

6. S¸tiind c˘a α ∈ , π ¸si sin α = , s˘a se calculeze ctg α. (5p)
2 5
SUBIECTUL al II-lea (30p)
 ‹  ‹
4 0 2 0
1. Se consider˘a matricele A = , B = ¸si mult¸imea
5 4 2 2

C(A) = {X ∈ M 2 (R)| XA = AX} .

a) S˘a se arate c˘a B ∈ C(A). (5p)
 ‹
x 0
b) S˘a se arate c˘a, dac˘a X ∈ C(A), atunci exist˘a x, y ∈ R astfel ˆıncˆat X = . (5p)
y x

2
c) S˘a se arate c˘a ecuat¸ia X = A nu are solut¸ii ˆın X ∈ M 2 (C). (5p)
x + y
2. Pe mult¸imea G = (−1, 1), se define¸ste legea de compozit¸ie asociativ˘a x ◦ y = ,
1 + xy
1 − x
x, y ∈ G ¸si funct¸ia f : G → R, f(x) = .
1 + x
1 1 3
a) S˘a se arate c˘a ◦ = . (5p)
3 3 5
b) S˘a se determine elementul neutru al legii de compozit¸ie ”◦”. (5p)

c) S˘a se arate c˘a pentru oricare x, y ∈ G, f(x ◦ y) = f(x)f(y). (5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)

1. Se consider˘a funct¸ia f : [0, ∞) → R, f(x) = x 2022 − 2022x + 1.

0
a) S˘a se calculeze f (x). (5p)
b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct¸iei f. (5p)
c) S˘a se demonstreze c˘a ecuat¸ia f(x) = 0, x > 0, are exact dou˘a solut¸ii x 1 ∈ (0, 1),
x 2 ∈ (1, ∞). (5p)

1
2. Se consider˘a funct¸ia f : [1, ∞) → R, f(x) = .
x(x + 1)
Z 2
a) S˘a se calculeze xf(x)dx. (5p)
1
3
Z
b) S˘a se calculeze f(x)dx. (5p)
2
Z x x − 1
c) S˘a se demonstreze c˘a f(t)dt ≤ , pentru oricare x ∈ [1, ∞). (5p)
2
1