Page 68 - MATINF Nr. 7

˘
68 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 4

Marius Macarie 4

SUBIECTUL I
√
p log 3 8
1. S˘a se arate c˘a 17 − 12 2 + 3 2 este num˘ar natural.
€√ Š x €√ Š x
2. S˘a se arate c˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 5 + 2 + 5 − 2 este par˘a.
x
x
3. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 4 x+1 − 7 · 10 + 3 · 25 = 0.
€ Š 7
4
4. S˘a se determine termenul care ˆıl cont , ine pe x din dezvoltarea 5x − √ 2 .
√ x −→ −−→
5. Fie ABC un triunghi care are AB = 3 2, AC = 3 s , i BC = 4. S˘a se calculeze AC · BC.

6. S˘a se determine sin x, s , tiind c˘a x ∈ 3π , 2π s , i sin π − x = 5 .
2 2 13
SUBIECTUL al II-lea
‚ Œ
a b
1. Se consider˘a matricea X(a, b) = unde a s , i b sunt numere reale.
5b a
a) S˘a se arate c˘a det (X(−1, 2) + X(2, −1)) = −4.
b) S˘a se demonstreze c˘a X(a, b) · X(c, d) = X(ac + 5bd, ad + bc) pentru orice numere
reale a, b.c.d.

c) S˘a se determine matricea U ∈ M 2 (R) pentru care U · X(9, 4) = X(1, 1).
2. Pe mult , imea G = (1, ∞) se defines , te legea de compozit , ie x ∗ y = x ln y .

a) S˘a se demonstreze c˘a legea ,,*” este asociativ˘a.
√
b) S˘a se determine simetricul lui e ˆın raport cu legea ,,*”.
x
c) S˘a se determine a ∈ (1, ∞) pentru care funct , ia f : (0, ∞) → (1, ∞), f(x) = a este
izomorfism ˆıntre grupurile ((0, ∞), ·) s , i (G, ∗).

SUBIECTUL al III-lea

2
2
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = ln(x − x + 1) − ln(x + x + 1).
a) S˘a se determine ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 0,
situat pe graficul funct , iei f.
b) S˘a se determine mult , imea valorilor funct , iei f.
c) S˘a se calculeze lim x · f(x).
x→∞ √
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 2x + 4x + 5.
2 70
Z
2
a) S˘a se arate c˘a f (x) d x = .
0 3
1 x + 1
Z
b) S˘a se calculeze 3 d x.
−2 f (x)
c) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a lui f este concav˘a pe intervalul (−∞, −1].

4
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com