Page 69 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 69

Testul 5

Liliana St˘anescu s , i Daniela Matei 5

SUBIECTUL I

1. S˘a se determine num˘arul natural x din ecuat , ia 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + x = 210.
2
2. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia 2x + 3x + 1 < 0.
2
3. S˘a se arate c˘a f : (0, +∞) → (3, ∞), f(x) = x +3 este bijectiv˘a s , i s˘a se determine inversa
ei.
4. Se consider˘a mult , imea A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}. S˘a se determine num˘arul submult , imilor
cu trei elemente ale mult , imii A, care cont , in elementul a.
5. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat distant , a dintre punctele A(−2, m) s , i B(m, −2) s˘a fie 6.
6. S˘a se calculeze cos π cos 23π .
12 12
SUBIECTUL al II-lea
 ‹
3 3
1. Se consider˘a matricea A = , A ∈ M 2 (R).
1 1
2
a) S˘a se arate c˘a exist˘a m ∈ R astfel ˆıncˆat A = mA.
t
b) S˘a se calculeze (A − A) 2022 .
2
c) S˘a se rezolve ecuat , ia X = A, unde X ∈ M 2 (R).
x
y
2. Pentru x s , i y din mult , imea M = [0, ∞) se defines , te operat , ia x ∗ y = log (3 + 3 − 1).
3
a) S˘a se arate c˘a ,,?” este lege de compozit , ie pe M.
b) S˘a se arate c˘a legea de compozit , ie ,,?” este asociativ˘a.
c) S˘a se determine elementul neutru al legii de compozit , ie.
SUBIECTUL al III-lea

9 − x 2
1. Fie f : D → R, f(x) = .
x
a) S˘a se determine domeniul maxim de definit , ie al funct , iei f.
b) S˘a se determine asimptotele funct , iei f.
c) S˘a se arate c˘a f(x) ≤ 8, ∀ x ∈ [1, ∞).
2
2. Se consider˘a funct , iile f, F : (0, ∞) → R , date prin f(x) = √ s , i F(x) =
2
‚√ Œ x x + 4
2
x + 4 − 2
ln .
x
a) S˘a se arate c˘a funct , ia F este o primitiv˘a a funct , iei f.
b) S˘a se arate ca F este strict cresc˘atoare pe intervalul (0, ∞).
c) S˘a se calculeze aria suprafet , ei cuprinse ˆıntre dreptele de ecuat , ii x = 1 s , i x = 2,
graficul funct , iei f s , i axa Ox.

5
Masteranzi – Matematic˘a didactic˘a, Anul 1, Universitatea din Pites , ti