Page 75 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 75

TESTUL 5

Antonio Nuic˘a 5

SUBIECTUL I (30p)
√
1. S˘a se calculeze 3 1000 − log 64 + cos 2π . (5p)
2
3
2
2. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat maximul funct¸iei f : R → R, f(x) = −x − x + m + 1,
s˘a fie 1. (5p)
2
3. S˘a se rezolve ecuat¸ia log (x − x + 2) = 2. (5p)
x
4. S˘a se determine cˆate numere de 3 cifre au suma cifrelor egal˘a cu 9. (5p)
π

5. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia sin 2x + = 1. (5p)
3
6. S˘a se determine raza cercului ˆınscris ˆın triunghiul ∆ABC, ¸stiind c˘a AB = 7, AC = 7,
BC = 10. (5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)
¨
x − ay − z = 8
1. Fie sistemul 2x − y − 2z = −4 , a, b ∈ R ¸si A matricea asociat˘a sistemului.
bx + 2y + z = 4

a) S˘a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆat sistemul este compatibil determinat. (5p)
b) Pentru a = 1/2, s˘a se rezolve sistemul. (5p)

c) Pentru b = −1, s˘a se rezolve sistemul. (5p)
2. Pe mult¸imea Z, se define¸ste legea de compozit¸ie x ◦ y = axy + b(x + y) + c, a,b, c ∈ Z,
b 6= 0.
a) S˘a se determine ˆın ce condit¸ii legea ”◦” este asociativ˘a. (5p)
b) S˘a se determine ˆın ce condit¸ii legea ”◦” are element neutru. (5p)

c) Pentru a = 1, b = −1 ¸si c = 2, s˘a se arate c˘a (M, ◦) este grup (unde M = {x ∈ Z, x ≥ 2}).
(5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)

1. Fie f : (−1, ∞) → R, f(x) = x − ln(x + 1).
a) S˘a se determine asimptotele la graficul funct¸iei f. (5p)

b) S˘a se arate c˘a f este convex˘a pe (−1, ∞). (5p)
x
c) S˘a se arate c˘a e ≥ x + 1, pentru oricare x ∈ R. (5p)
1
2. Se consider˘a f : (−1, ∞) → R, f(x) = .
2
4
(x + 1)(x + 1)(x + 1)
Z 1
4
a) S˘a se calculeze x(x + 1)(x + 1)f(x)dx. (5p)
0
Z 1
4
2
b) S˘a se calculeze x(x + 1)(x + 1)f(x)dx. (5p)
0
Z 1
2
c) S˘a se calculeze x(x + 1)(x + 1)f(x)dx. (5p)
0
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, antonio 74nm@yahoo.com