Page 67 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 67

Testul 3

Mihai Florea Dumitrescu 3

SUBIECTUL I
√ √ √
1. Calculat , i numˇarul real a pentru care numerele 6, 2 + 8 s , i a sunt termeni consecutivi
ai unei progresii geometrice.
x − 1
2. Se considerˇa funct , ia f : R − {0, 2} → R, f (x) = . Arˇatat , i cˇa punctul A (1, 0)
x (x − 2)
este centru de simetrie pentru graficul funct , iei f.
2
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 log 3 = 3 log 5(x +1) .
5
4. Determinat , i numˇarul submult , imilor cu numˇar par de elemente ale mult , imii {1, 2, 3, 4, 5}.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se considerˇa punctele A (2, 3), B (−1, 0) s , i C (0, −2). Aflat , i aria
patrulaterului concav ABCO.
6. Aflat , i x ∈ (0, π) astfel ˆıncˆat sin x + π = sin x − π .
4 4

SUBIECTUL al II-lea
 ‹  ‹
2 0 1 0
1. Se considerˇa matricele A = s , i I 2 = .
2 2 0 1
2
4
2
a) Arˇatat , i cˇa det (2022 · A) = 2 · 3 · 337 .
2
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia A + 4I 2 = (x − 2018) A.
2
c) Rezolvat , i ˆın M 2 (R) ecuat , ia X = A.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativˇa x ∗ y = nxy −
2
nmx − nmy + nm + m, unde m s , i n sunt numere naturale nenule, m < n.
a) Arˇatat , i cˇa x ∗ y = n(x − m)(y − m) + m pentru orice numere reale x s , i y.
b) Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor naturale ecuat , ia x ∗ x = m + n.
c) Calculat , i 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ n.

SUBIECTUL al III-lea
√
x
1. Se considerˇa funct , ia f : [0, +∞) → R, f (x) = .
2
x + 1
0
a) Calculat , i f (1).
x
b) Calculat , i lim e · f (x).
x→+∞
c) Stabilit , i intervalele de monotonie ale funct , iei f.
2. Se considerˇa funct , iile f n : R → R, f n (x) = e nx + nx, unde n este un numˇar natural nenul.
a) Aflat , i primitiva F n a funct , iei f n cu proprietatea cˇa F n (0) = 2022.
Z 1
b) Calculat , i x · f 1 (x)dx.
n
0 Z
c) Calculat , i x · f n (x)dx , unde n este un numˇar natural nenul.
0

3
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com