Page 66 - MATINF Nr. 7

˘
66 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 2

Raluca Mihaela Georgescu 2

SUBIECTUL I
1. S˘a se afle suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice, s , tiind c˘a al treilea termen
este egal cu 5.
2
2. Fie f : R → R, f(x) = x + (m + 1)x + 4, unde m ∈ R. S˘a se determine m > 0 astfel
ˆıncˆat axa Ox s˘a fie tangent˘a graficului funct , iei f.
2
3. S˘a se rezolve ecuat , ia 3 x +3 = 9 x+1 .
2
2
4. S˘a se calculeze probabilitatea ca alegˆand un num˘ar dintre P 4 , C s , i A , acesta s˘a fie
4
4
divizibil cu 12.
5. S˘a se determine lungimea ˆın˘alt , imii dus˘a din vˆarful A al triunghiului ABC, s , tiind c˘a
A(1, 1), B(2, 3) s , i C(4, 6).  ‹
3π 3
6. S˘a se determine ctg x, s , tiind c˘a x ∈ π, s , i sin x = − .
2 5
SUBIECTUL al II-lea
„ Ž
1 2 a
1. Fie A(a) ∈ M 3 (R), A(a) = a 1 2 cu a ∈ R.
2 a 1
a) S˘a se calculeze det A(1).
b) S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat A s˘a fie inversabil˘a.
c) S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat det(A(a) + I 3 ) = 0.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie x ◦ y = 3xy − 6x − 6y + 14.
a) S˘a se arate c˘a x ◦ y = 3(x − 2)(y − 2) + 2, pentru orice numere reale x, y.
b) S˘a se rezolve inecuat , ia x ◦ x ≤ 14.
√ √ √
c) S˘a se calculeze 1 ◦ 2 ◦ · · · ◦ 2021.

SUBIECTUL al III-lea
x + 3
1. Fie funct , ia f : (−1, ∞) → R, f(x) = .
x + 3x + 2
2
2
−(x + 6x + 7)
0
a) S˘a se arate c˘a f (x) = , x ∈ (−1, ∞).
2
(x + 3x + 2) 2
b) S˘a se arate c˘a f admite asimptot˘a vertical˘a.
3
c) S˘a se arate c˘a f(x) ≤ , pentru orice x ∈ [0, ∞).
2
x + 1
2. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = √ .
2
x + 4
2
√ 5
Z
2
a) S˘a se arate c˘a x + 4f(x) d x = .
2
1 √
5
Z
b) S˘a se calculeze f(x) d x.
0
c) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este strict cresc˘atoare pe [0, ∞).
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com