Page 57 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 57

Subiectul al III-lea. (30 puncte)

1. Fie f : R → R, f(x) = e x . Ar˘atat¸i c˘a:
2
x +4
a) f(x) · f(−x) = 1 2 , pentru orice x ∈ R.
2
(x +4)
b) f este strict cresc˘atoare pe R.

c) f(x) + f(−x) ≥ 1 , pentru orice x ∈ (−∞, 4].
10
1
R x n
2. Fie I n = e (x + nx), n ∈ N.
0

a) Calculat¸i I 0 ¸si I 1 .
b) Ar˘atat¸i c˘a I 2 = e.
∗
c) Ar˘atat¸i c˘a I n+1 = e − (n + 1)I n + n(n + 1), pentru orice n ∈ N .

TESTUL 5

Antonio Nuic˘a 5

SUBIECTUL I (30p) SUBIECTUL I (30p)

1 − i
1. S˘a se determine partea real˘a a num˘arului . (5p)
3 + i
2
2. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia |log (x − 1)| = 1. (5p)
2
2
3. S˘a se determine m ∈ R pentru care ecuat¸ia x − mx + 1 = 0, are dou˘a r˘ad˘acini reale
strict pozitive. (5p)
4. S˘a se determine num˘arul funct¸iilor injective f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} cu proprietatea
f(1) = 1, f(2) = 3. (5p)
1
5. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia sin 3x = . (5p)
2
6. S˘a se calculeze raza cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC, pentru care AB = 6, BC = 10,
CA = 8. (5p)

SUBIECTUL al II-lea (30p)
3
2
1. Fie f = X − 2X − aX + 2a, a ∈ R.
a) S˘a se determine r˘ad˘acinile lui f pentru a = 1. (5p)

b) S˘a se determine r˘ad˘acinile lui f pentru a = −1. (5p)

c) S˘a se arate c˘a pentru a ∈ (−∞, −2), f nu are toate r˘ad˘acinile reale. (5p)
§
x − y + z = 1
2. Se consider˘a sistemul (S): .
x + y + z = 1
a) S˘a se rezolve sistemul. (5p)

b) S˘a se determine solut¸ia (x 0 , y 0 , z 0 ) a sistemului cu proprietatea −x 0 + y 0 + z 0 = 1. (5p)
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, antonio 74nm@yahoo.com