Page 55 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 55

1 − 2020 · ln x
2. Se consider˘a funct¸ia f : (0, ∞) → R, f(x) = .
x 2021
ln x
a) Demonstrat¸i c˘a funct¸ia F : (0, ∞) → R, F(x) = este o primitiv˘a a funct¸iei f.
x 2020
e
Z 2
b) Calculat¸i x 2021 · f(x)dx.
1
Z a 1
c) Determinat¸i a > 1 astfel ˆıncˆat F(x) · f(x)dx = .
2a 4040
1

TESTUL 3

Maria-Crina Diaconu 3

SUBIECTUL I (30p)

1. S˘a se calculeze 3 + 8 + 13 + . . . + 353. (5p)

2
2. Fie ecuat¸ia (m − 1)x + (2m − 3)x + m = 0. S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat ecuat¸ia
s˘a aib˘a dou˘a solut¸ii de semne contrare. (5p)
3. S˘a se rezolve ecuat¸ia 3n! + (n + 1)! = 32(n − 1)! (5p)

4. S˘a se determine num˘arul funct¸iilor f : {1, 2, 3} → {4, 5, 6}, astfel ˆıncˆat f(2) = 5. (5p)

5. S˘a se scrie ecuat¸ia dreptei care trece prin punctul A(−1, 2) ¸si face cu semiaxa pozitiv˘a
◦
Ox un unghi de 30 . (5p)
x 1
6. S˘a se rezolve ˆın R ecuat¸ia 2 cos 2 = . (5p)
2 2
SUBIECTUL al II-lea (30p)
 ‹  ‹
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1. Fie permut˘arile σ = , τ = ∈ S 5
2 3 1 5 4 2 1 5 4 3
a) S˘a se determine num˘arul de inversiuni ale permut˘arii τ. (5p)

n
b) S˘a se determine cel mai mic num˘ar natural n ∈ N pentru care σ = e, e permutarea
identic˘a. (5p)
c) S˘a se rezolve ˆın S 5 ecuat¸ia x · σ = τ. (5p)

2. Se consider˘a H = [0, 1) ¸si legea de compozit¸ie x ? y = {x − y + 1}, unde {a} este partea
fract¸ionar˘a a num˘arului a.
2 1
a) S˘a se calculeze ? . (5p)
3 4
1
b) S˘a se rezolve ˆın H ecuat¸ia x ? x ? x = . (5p)
5
c) S˘a se stabileasc˘a dac˘a legea de compozit¸ie ”?” admite element neutru. (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
1 + ln(x − 1)
1. Fie f : (1, ∞) → R, f(x) = √ .
3
x − 1
3
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com