Page 52 - MATINF Nr. 6

˘
52 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 5

Raluca Mihaela Georgescu 5

SUBIECTUL I
1. S˘a se determine primul termen al unei progresii geometrice (b n ) n≥1 , ˆın care b 5 = 32 ¸si
b 7 = 128.
2
2. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) = x + (m + 2)x − m + 3, m ∈ R, cu r˘ad˘acinile x 1 , x 2 . S˘a se
determine valoarea parametrului real m pentru care 5x 1 x 2 − 4(x 1 + x 2 ) = 3.
x
3. S˘a se rezolve ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia 3 2x+1 − 10 · 3 + 3 = 0.
4. S˘a se calculeze probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult¸imea {1, 2, 3, 4, 5}, acesta s˘a
verifice relat¸ia n! + 3n < 25.
5. S˘a se determine lungimea ˆın˘alt¸imii dus˘a din vˆarful A al triunghiului ABC, cu A(1, 2),
B(5, −3), C(−1, 4).
6. S˘a se afle aria triunghiului ABC, ¸stiind c˘a AB = 5, BC = 6 ¸si tg B = 2.

SUBIECTUL al II-lea
 ‹
4 4
1. Se consider˘a matricele A = ¸si M(a) = I 2 + aA pentru orice a ∈ R.
−5 −5
a) S˘a se calculeze det(M(5)).
b) S˘a se verifice c˘a M(a)M(b) = M(a + b − ab).
2
c) S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat (M(a)) = M(−3).
2. Pe mult¸imea G = (3, ∞) se define¸ste legea de compozit¸ie ” ∗ ”, x ∗ y = xy − 3(x + y) + 12.
a) S˘a se arate c˘a x ∗ y = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice x, y ∈ G.
b) S˘a se rezolve ˆın G ecuat¸ia x ∗ x ∗ x ∗ x = x.
√ √ √
c) S˘a se calculeze 3 4 ∗ 3 5 ∗ · · · ∗ 3 2021.

SUBIECTUL al III-lea
2
1. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) = ln(x + 1) − x.
0
a) S˘a se calculeze f (x).
b) S˘a se determine ecuat¸ia tangentei la graficul funct¸iei ˆın punctul de abscis˘a x = 1
situat pe grafic.
c) S˘a se arate c˘a funct¸ia nu admite puncte de extrem.
−1
2. Fie funct¸ia f : (−1, ∞) → R, f(x) = .
3
2
x + x + x + 1
1
Z
2
a) S˘a se calculeze (x + 1)f(x)dx.
0
b) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct¸iei f este descresc˘atoare pe intervalul (−1, ∞).
c) S˘a se determine acea primitiv˘a F a funct¸iei f pentru care F(0) = 1.

5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com