Page 56 - MATINF Nr. 6

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) S˘a se studieze monotonia funct¸iei f ¸si s˘a se determine punctele de extrem. (5p)

b) S˘a se studieze existent¸a asimptotelor la graficul funct¸iei. (5p)

c) Dac˘a m ∈ R, s˘a se determine num˘arul solut¸iilor reale ale ecuat¸iei f(x) = 1 − m. (5p)
x
2. Fie f : R → R, f(x) = .
2
2 − cos x
Z 1
a) S˘a se studieze paritatea funct¸iei ¸si s˘a se calculeze f(x)dx. (5p)
−1
π f(x)
Z
b) S˘a se calculeze · cos xdx. (5p)
π/2 x
x
Z
c) S˘a se studieze dac˘a funct¸ia F : R → R, F(x) = f(t)dt este bijectiv˘a. (5p)
0

TESTUL 4

Adrian T , urcanu 4

Subiectul I (30 puncte)

1. Determinat¸i partea ˆıntreag˘a a num˘arului log 352.
2
2
2. Fie f : R → R, f(x) = x + mx − 5, m ∈ R. Determinat¸i mult¸imea valorilor lui m pentru
care graficul funct¸iei f este tangent la axa Ox.
x
x
x
3. Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia 2 + 5 = 7 .
4. Dintr-o echip˘a format˘a din 7 b˘arbat¸i ¸si 4 femei se alege un comitet format din 4 persoane.
Determinat¸i num˘arul de comitete care cont¸in cel put¸in un b˘arbat.
5. Calculat¸i raza cercului circumscris triunghiului ABC ¸stiind c˘a AB = 4 cm, BC = 5 cm ¸si
AC = 7 cm.
2
6. Determinat¸i x ∈ [0, π] astfel ˆıncˆat sin x + cos x = 1.
Subiectul al II-lea (30 puncte)

„ Ž
1 2 3
1. Se consider˘a matricea A(m) = −1 2 0
m 2m 1 − m

a) Calculat¸i det(A(3)).
b) Determinat¸i mult¸imea valorilor lui m pentru care matricea A(m) este inversabil˘a.

2
c) Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia Tr(A (m)) = −10, unde Tr(A) este urma matricei A.
2. Se consider˘a pe R legea de compozit¸ie x ◦ y = xy − 3x − 3y + m, m ∈ R.

a) Ar˘atat¸i c˘a “◦” este comutativ˘a pentru orice m ∈ R.
b) Determinat¸i m astfel ˆıncˆat “◦” s˘a aib˘a element neutru.

c) Dac˘a m = −7, determinat¸i valorile reale ale lui x astfel ˆıncˆat (x ◦ x) ◦ x = 0.
4
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, adrianturcanu85@yahoo.com