Page 54 - MATINF Nr. 6

˘
54 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

1
Z
n x
2. Se consider˘a ¸sirul (I n ) n≥0 , I n = (3x + 2) e dx.
0
a) S˘a se calculeze I 1 . (5p)
∗
n
n
b) S˘a se arate c˘a I n + 3nI n−1 = 5 e − 2 , n ∈ N . (5p)
c) S˘a se arate c˘a lim I n = ∞. (5p)
n→∞

TESTUL 2
Marius Macarie 2

SUBIECTUL I
1. Determinat¸i num˘arul complex z, ¸stiind c˘a 2z − 3z = −4 + 10i.
2. Determinat¸i cel mai mare num˘ar ˆıntreg pentru care graficul funct¸iei f : R → R, f(x) =
2
2x − 7x + m − 1 intersecteaz˘a axa Ox ˆın dou˘a puncte distincte.
2
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log (x − 5x + 6) − 2 log x = 0.
3
3
4. Calculat¸i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult¸imea numerelor naturale de trei
cifre, acesta s˘a aib˘a cifra zecilor num˘ar prim.
ˆ
5. In sistemul cartezian xOy se consider˘a punctele A(1, 3), B(−2, 1), C(−3, −1). S˘a se
determine coordonatele ortocentrului triunghiului ABC.
 ‹
5 3π
6. Calculat¸i tg a, ¸stiind c˘a sin a = − ¸si a ∈ π, .
13 2
SUBIECTUL al II-lea
„ Ž
1 1 1
1. Se consider˘a matricea A(x, y) = 1 x y , x, y ∈ R.
1 x 2 y 2
a) Calculat¸i det A(−1, 2).
b) Ar˘atat¸i c˘a det A(x, y) = (x − 1)(y − 1)(y − x), pentru orice numere reale x, y.
c) Determinat¸i matricea Z ∈ M 3 (R) astfel ˆıncˆat A(−1, 2) · Z = A(2, 0).
2. Pe mult¸imea numerelor reale se define¸ste legea de compozit¸ie asociativ˘a

x ◦ y = 3xy − 6(x + y) + 14.

a) Demonstrat¸i c˘a x ◦ y = 3(x − 2)(y − 2) + 2.
x
x
x
b) Rezolvat¸i ˆın R ecuat¸ia 2 ◦ 4 ◦ 8 = 2.
c) Determinat¸i num˘arul real nenul a, ¸stiind c˘a f(x) ◦ f(y) = f(x + y), pentru orice
x
numere reale x ¸si y, unde f : R → R, f(x) = a · e + 2.
SUBIECTUL al III-lea
x + ln(x + 2)
1. Se consider˘a funct¸ia f : (−2, ∞) → R, f(x) = .
x + 2
3 − ln(x + 2)
0
a) Ar˘atat¸i c˘a f (x) = , x ∈ (−2, ∞).
(x + 2) 2
b) Determinat¸i ecuat¸ia dreptei care trece prin A (1, 2) ¸si este paralel˘a cu tangenta la
graficul funct¸iei f ˆın punctul de abscis˘a x = −1, situat pe graficul funct¸iei f.
c) Determinat¸i intervalele de convexitate ¸si concavitate ale funct¸iei f.
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com