Page 51 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 51

Testul 4

Mihai Florea Dumitrescu 4

SUBIECTUL I
√
‚ Œ 4
1 3
2
1. Aflat¸i partea real˘a a num˘arului z = − + i , i = −1.
2 2
2
2. Se consider˘a funct¸iile f : R → R, f(x) = x + 2x + 2 s , i g : R → R, g(x) = −mx + 1,
m ∈ R. Aflat¸i m ∈ R, astfel ˆıncˆat (f ◦ g) (1) + (g ◦ f) (0) = 0 .
√
3. Rezolvat¸i ˆın mult¸imea numerelor reale ecuat¸ia log 2 5 2 10x = 3 − x.
4. Calculat¸i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult¸imea {0!, 1!, 2!, 3!, . . . , 20!}, acesta
s˘a fie divizibil cu 100.
ˆ
5. In sistemul cartezian xOy se consider˘a dreapta d : x − y + 5 = 0. G˘asit¸i dou˘a puncte
distincte pe dreapta d, egal dep˘artate de originea axelor de coordonate.
6. Fie triunghiul ABC cu AB = 5, AC = 6 s , i BC = 9. Calculat¸i sin A.

SUBIECTUL al II-lea
„ Ž
1 −1 −1
1. Se consider˘a matricea A = 0 1 −1 .
0 0 1
a) Calculat¸i det (2A).
b) Calculat¸i A + A 2021 .
t
c) Rezolvat¸i ˆın M 3 (R) ecuat¸ia X · A = A .
2. Pe mult¸imea numerelor reale se defines , te legea de compozit¸ie x ◦ y = xy − 21x − 21y + 462.
a) Ar˘atat¸i c˘a x ◦ y = (x − 21) (y − 21) + 21 pentru orice numere reale x s , i y.
a ◦ 21
b) Aflat¸i a ∈ Z, astfel ˆıncˆat ∈ Z.
a ◦ 20
c) Aflat¸i un num˘ar natural a, astfel ˆıncˆat a ◦ a este p˘atrat perfect.

SUBIECTUL al III-lea
x − 1
1. Se consider˘a funct¸ia f : (1, ∞) → R, f (x) = (x − 1) ln .
2
f (x)
a) Calculat¸i lim .
x→+∞ x 2
b) Aflat¸i intervalele de monotonie ale funct¸iei f.
c) Ar˘atat¸i c˘a funct¸ia f este convex˘a pe intervalul (1, ∞).
1
Z n
x
?
2. Se consider˘a integrala I n = dx, n ∈ N .
4
x + 1
0
a) Calculat¸i I 1 .
b) Calculat¸i I 3 .
1
c) Ar˘atat¸i c˘a I 2 ≤ .
2

4
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com