Page 49 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 49

Testul 2

Marius Macarie 2

SUBIECTUL I
4
4
1. S˘a se demonstreze c˘a num˘arul z = (3 + i) + (3 − i) este ˆıntreg.
2
2. Fie x 1 s , i x 2 solut , iile reale ale ecuat , iei x − mx + 1 = 0. S˘a se determine valorile reale ale
2
lui m pentru care (x 1 − x 2 ) = 5.
3. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia |2x − 4| = |x + 3|.
4. S˘a se afle num˘arul de elemente ale unei mult , imi care are exact 12 submult , imi ordonate de
dou˘a elemente.
ˆ
5. In sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele O(0, 0), A(2, −3) s , i B(3, −2).
−→ −−→
S˘a se determine cosinusul unghiului format de vectorii OA s , i OB.
√ π π
6. Se consider˘a triunghiul ABC cu AB = 6 3, A = s , i B = . S˘a se calculeze BC.
6 4
SUBIECTUL al II-lea
 ‹
1 0
1. Se consider˘a matricea A (a) = , unde a este un num˘ar real, a ∈ (0, ∞).
ln a − 1 ln a
a) S˘a se arate c˘a det(A(e) + A(1)) = 2.
b) S˘a se calculeze A 2020 (a).
2
2
c) S˘a se determine matricele X ∈ M 2 (R) cu proprietatea X = A(e ).
y
x
2. Pentru x, y ∈ [0, ∞) se defines , te legea de compozit , ie x ? y = log (2 + 2 − 1).
2
a) S˘a se arate c˘a 0 ? 1 = 1.
b) S˘a se arate c˘a legea de compozit , ie ,,?” este asociativ˘a.
c) S˘a se rezolve ecuat , ia x ? x ? . . . ? x = x.
| {z }
de 2020 ori
SUBIECTUL al III-lea
x
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = √ .
x + 1
2
√
f(x) − f(1) 2
a) S˘a se arate c˘a lim = .
x→1 x − 1 4
b) S˘a se determine ecuat , ia asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funct , iei f.
0
c) S˘a se afle imaginea funct , iei f .
x
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = x · 2 .
1
2 ln 2 − 1
Z
a) S˘a se arate c˘a f(x)dx = .
2
ln 2
0
2
Z 2
f(x )
b) S˘a se calculeze dx.
x
1
c) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f are exact un punct de inflexiune.

2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, macariem@yahoo.com