Page 66 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
66 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) s , irul este strict monoton;

b) s , irul are termenii pozitivi;

c) s , irul este m˘arginit.
§ ª
2
2. Fie funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = min x, . Studiat , i continuitatea s , i derivabilitatea
1 + x 2
R n
funct , iei f, apoi calculat , i limita s , irului (a n ) n≥1 , a n = f(x)dx.
0
x (k)
3. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = e 2 . Determinat , i prin induct , ie complet˘a f (x). Ar˘atat , i c˘a
n
P (k)
lim f (x) = f(x).
n→∞ k=1
2
4. Ar˘atat , i c˘a funct , ia f : R → R, f(x) = (x + x)arctg x admite primitive s , i determinat , i
aceste primitive.

R e n 1+ln t
5. Fie integrala I n = 2 dt, n ∈ N. Calculat , i I n folosind schimbarea de varia-
e t(ln t)(1+ln t)
bil˘a x = ln t s , i lim I n .
n→∞

Geometrie s , i trigonometrie

1. Fie AB s , i CD dou˘a coarde perpendiculare ˆıntre ele ale unui cerc, {P} = AB ∩ CD s , i E
punctul diametral opus lui A pe cerc. S˘a se arate c˘a:

a) patrulaterul cu vˆarfurile ˆın punctele B, C, D, E este trapez isoscel.
2
2
2
2
b) suma PA + PB + PC + PD este constant˘a.
2
2
2. S˘a se rezolve ecuat , ia cos x + 4 sin x cos x − 2 sin x − 2 = 0.
ˆ
3. Intr-un vas ˆınchis ˆın form˘a de con circular drept cu ˆın˘alt , imea h, cu vˆarful ˆın jos s , i baza
orizontal˘a se g˘ases , te un lichid care se ridic˘a pˆan˘a la ˆın˘alt , imea h 1 , 0 < h 1 < h. Dac˘a vasul se
r˘astoarn˘a cu vˆarful ˆın sus s , i baza orizontal˘a, determinat , i ˆın funct , ie de h s , i h 1 ˆın˘alt , imea pˆan˘a la
care se ridic˘a lichidul.

4. a) Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC are loc inegalitatea
A B C 1
sin sin sin ≤ .
2 2 2 8
ˆ
b) In ce caz are loc egalitatea?

ˆ
5. In patrulaterul convex ABCD, E este mijlocul laturii [AB] s , i F mijlocul laturii [CD].
S˘a se demonstreze c˘a dac˘a AB nu este paralel˘a cu CD s , i dac˘a AB nu este perpendicular˘a pe
CD, atunci mijloacele segmentelor [AF], [CE], [BF], [DE] sunt vˆarfurile unui paralelogram ce
nu poate fi romb.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 1998)