Page 63 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 63

SUBIECTUL al II-lea (30p)

„ Ž
x y 1
1. Fie A(x, y) = 1 2 1 , x, y ∈ R, s , i punctele M(1, 2), N(2, 3).
2 3 1
a) S˘a se determine det A(1, 0). (5p)

b) Deducet , i c˘a dreapta d de ecuat , ie det A(x, y) = 0 coincide cu MN. (5p)

c) S˘a se determine punctele P(x, y) cu x − y = 1 pentru care aria triunghiului MNP este 3.
(5p)
3
2
2. Se d˘a polinomul f = X − 2X + mX + n, m, n ∈ R, cu r˘ad˘acinile x 1 , x 2 , x 3 ∈ C.
a) S˘a se determine x 1 + x 2 + x 3 . (5p)

2
2
2
b) S˘a se determine m, n ∈ R pentru care X − 1 f s , i x + x + x = 8. (5p)

1 2 3
c) Pentru m s , i n determinat , i la b), s˘a se rezolve ecuat , ia f(x) = 0. (5p)
SUBIECTUL al III-lea (30p)
x
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = .
e x
a) S˘a se arate c˘a graficul lui f admite asimptote orizontale. (5p)

b) S˘a se determine intervalele de monotonie ale funct , iei. (5p)

c) S˘a se determine intervalele de convexitate ale funct , iei. (5p)
x
2. Fie f : D = R \ {2, 3} → R, f(x) = .
x − 5x + 6
2
a b
a) S˘a se determine a, b ∈ R, astfel ˆıncˆat f(x) = + , ∀ x ∈ D. (5p)
x − 2 x − 3
b) S˘a se determine primitivele lui f pe (3, ∞). (5p)

c) S˘a se calculeze (5p)

1 Z n
lim f(t)dt.
n→∞ n
4