Page 65 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 65

∗
n
n
d) Dac˘a x 1 , x 2 ∈ C sunt solut , ii ale ecuat , iei f(x) = 0 s , i pentru n ∈ N definim S n = x + x ,
2
1
aflat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat S 5 = −1.
SUBIECTUL al II-lea
x
x
Fie funct , ia f : R → (1, +∞), f(x) = 9 + 3 + 1.
R 2
a) Calculat , i f(x)dx.
0
b) S˘a se arate c˘a f este bijectiv˘a s , i s˘a se determine g = f −1 .
0
c) S˘a se calculeze g (2).
00
0
d) S˘a se stabileasc˘a semnul funct , iei f s , i s˘a se precizeze monotonia funct , iei f .
SUBIECTUL al III-lea
ˆ
In reperul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(2, 1), B(1, 3), C(1, 2).
a) Precizat , i coordonatele centrului s , i raza cercului circumscris 4ABC.
b) Precizat , i coordonatele centrului s , i raza cercului ˆınscris ˆın 4ABC.
π
c) Deducet , i c˘a arctg x + arcctg x = , ∀x ∈ R.
2
4
d) Rezolvat , i ecuat , ia 2 sin x + 3 cos 2x + 1 = 0.
Testul 3

D.M.I. 3

Algebr˘a
√ √
1. S˘a se rezolve ecuat , ia 3 2 − x + x − 1 = 1, unde x ∈ R.

x
8 + 27 x 7
2. S˘a se rezolve ecuat , ia = , unde x ∈ R.
x
12 + 18 x 6
n
3. S¸tiind c˘a suma coeficient , ilor binomiali ai dezvolt˘arii (1 + x) + (1 + x) n+1 (n ∈ N) este 1536,
6
s˘a se determine coeficientul lui x .
4. S˘a se rezolve s , i s˘a se discute sistemul


 mx + y + z = 1
x + my + z = m
x + y + mz = m + 5m + 7,
 2
unde m ∈ R.

ˆ
2
5. a) Determinat , i toate polinoamele f ∈ Z 4 [X] astfel ˆıncˆat f = 0 s , i grad (f) = 2.
b) Rezolvat , i aceeas , i problem˘a pentru polinoamele inelului Z p [X], unde p este num˘ar prim.

Elemente de Analiz˘a Matematic˘a

P cos π
n
1. Fie s , irul (a n ) n≥1 , a n = k 2k . Ar˘atat , i c˘a:
k=1 2
3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro