Page 57 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 57

Testul 4

Adina-Florina Militaru 4

SUBIECTUL I
2
2
1. S˘a se calculeze (1 + 2i) + (1 − 2i) .
2. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia
x
x
log (4 − 2) = log (3 · 2 − 4).
2
2
3. S˘a se calculeze suma f(1) + f(2) + . . . + f(1000), s , tiind c˘a f : R → R, f(x) = 4x + 1.
4. S˘a se determine probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult , imea {51, 52, . . . , 100} acesta
s˘a fie divizibil cu 7.
5. Aflat , i distant , a de la punctul A(1, 2) la dreapta de ecuat , ie 3x − 4y + 2 = 0.
1

6. S¸tiind c˘a α ∈ π , π , sin α = , s˘a se calculeze cos 2α.
2 3
SUBIECTUL al II-lea
1 −1 1
!
1. Fie matricea A = 0 1 2 ∈ M 3 (R).
m −1 2

a) Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat det A = 2.
b) Pentru m = 0, s˘a se determine x ∈ R s , tiind c˘a det(A + xI 3 ) = 0.
!
1
c) Pentru m = 1 s˘a se determine X ∈ M 3,1 (R) astfel ˆıncˆat A · X = 1 .
1
2. Consider˘am mult , imea G = (3, +∞) s , i legea de compozit , ie

x ∗ y = xy − 3x − 3y + 12, ∀x, y ∈ G.

a) Ar˘atat , i c˘a x ∗ y = (x − 3)(y − 3) + 3, ∀x, y ∈ G.
¨
x ∗ y = 15
b) Rezolvat , i sistemul
x ∗ 6 = y.
c) S˘a se arate c˘a legea este asociativ˘a.
SUBIECTUL al III-lea
2
2 .
1. Se consider˘a f : R \ {1} → R, f(x) = 2x −3x−1
(x−1)
a) Ar˘atat , i c˘a pentru x 6= 1 avem f(x) = 2 + x−3 2 .
(x−1)
0
b) Determinat , i f (x) s , i ar˘atat , i c˘a funct , ia f este descresc˘atoare pe (−∞, 1).
c) Determinat , i punctul de pe graficul funct , iei ˆın care tangenta la grafic are panta egal˘a
cu −5.
2. Fie f : (0, ∞) → R, f(x) = x ln x.

2
a) S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆat funct , ia F : (0, ∞) → R, F(x) = ax ln x + bx 2
s˘a fie o primitiv˘a a lui f.
b) S˘a se calculeze aria suprafet , ei cuprins˘a ˆıntre graficul funct , iei f, axa Ox s , i dreptele
de ecuat , ii x = 1, x = e.
x R
f(t)dt
c) S˘a se calculeze lim 1 3 .
x→∞ x

4
Profesor, Grup S¸colar Construct , ii de Mas , ini, Colibas , i, popescuadina73@yahoo.com