Page 56 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Testul 3

Mihai Florea Dumitrescu 3

SUBIECTUL I

1. Se consider˘a progresia aritmetic˘a (a n ) n≥1 cu rat , ia pozitiv˘a. S , tiind c˘a a 3 = 7 s , i produsul
primilor cinci termeni ai progresiei este egal cu 3640, aflat , i primul termen al progresiei.
2
2. S˘a se determine num˘arul real m, astfelˆıncˆat axa Ox este tangent˘a parabolei y = x +mx+4.
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log x = log (x + 2).
4
2
4. S˘a se determine probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar din mult , imea numerelor naturale de
dou˘a cifre, acesta s˘a aib˘a cifra zecilor divizibil˘a cu 4.
− → − → −→ − → − → −→
5. Aflat , i num˘arul real a, pentru care vectorii u = a i + j s , i v = i − j sunt perpendiculari.
1
6. Un triunghi ABC are BC = 2R, unde R este raza cercului circumscris 4ABC , sin B =
√ 2
s , i aria egal˘a cu 8 3. Aflat , i R.

SUBIECTUL al II-lea

 ‹
5 1
1. Se consider˘a matricea A = .
−10 −2
2
a) Calculat , i det (A ).
b) Aflat , i perechile de numere ˆıntregi (a, b), astfel ˆıncˆat are loc egalitatea (I 2 + aA) ·
(I 2 + bA) = I 2 + A.
3
2
c) Aflat , i num˘arul natural n pentru care are loc egalitatea A + A + A + ... + A 2020 =
n
3 − 1
A.
2
2
3
2
2
2. Fie polinomul f = X + (1 − 2a) X + (a − 2a) X + a , unde a este num˘ar real nenul.
a) Aflat , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul X − 1.
b) Pentru a ∈ Z aflat , i r˘ad˘acinile polinomului f.
c) Determinat , i a ∈ R, pentru care are are loc egalitatea
x 1 + x 2 + 1 x 1 + x 3 + 1 x 3 + x 2 + 1
+ + = −1.
x 3 x 2 x 1

SUBIECTUL al III-lea
1. Se consider˘a funct , ia f : R \ {1} → R, f (x) = ln |x − 1|.
a) Determinat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficul funct , iei f.
b) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este strict descresc˘atoare pe intervalul (−∞, 1).
c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este concav˘a pe intervalul (1, +∞).
n
2. Se consider˘a funct , ia f n : R → R, f n (x) = x · sin x, n ∈ N.
R π
2
a) Calculat , i π f 0 (x) dx.
3
R π
b) Calculat , i π f 1 (x) dx.
2
6
c) Calculat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei
π
g : 0, → R, g(x) = f 1 (x).
4

3
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com