Page 55 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 55

c) S˘a se calculeze volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [1, e] → R, g(x) = f(x).

Testul 2
Monica Dumitrache 2

SUBIECTUL I
1. Ar˘atat , i c˘a log 5 · log 8 = 3.
5
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = 2x − 4. Determinat , i x ∈ R pentru care
f(x)
≥ 0.
10 + f(x)
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 3 + 8 · 3 −x = 9.
√ 8
3
4. Determinat , i al cincilea termen al dezvolt˘arii ( x + 3x) .
5. Se consider˘a dreapta d de ecuat , ie 2x − 4y + 1 = 0. Scriet , i ecuat , ia dreptei care trece prin
punctul A (4, −1) s , i este perpendicular˘a pe dreapta d.
2 1 √
ˆ
6. In triunghiul ABC avem sin A = √ , sin B = √ s , i BC = 2 3. Calculat , i AC.
13 3
SUBIECTUL al II-lea

1 1 1

1. Fie determinantul D (a, b) = a b 1 , unde a, b ∈ Z.

2 2
a b 1
a) Calculat , i D(2, 3).
b) Determinat , i m ∈ Z s , tiind c˘a D (m, 3) = −6.
c) Demonstrat , i c˘a num˘arul D(a, b) este divizibil cu 2, oricare ar fi a, b ∈ Z.

2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a s , i cu element
x y 3
neutru x ⊗ y = xy − − + .
2 2 4
1
a) Ar˘atat , i c˘a x ⊗ y = x − 1 y − 1 + , pentru orice x, y ∈ R.
2 2 2
3
b) Determinat , i simetricul elementului x = , ˆın raport cu legea de compozit , ie ,,⊗”.
2
1 2 3 19
c) Rezolvat , i ˆın R ecuat , ia log 2 = ⊗ ⊗ ⊗ · · · ⊗ .
x
2 3 4 20
SUBIECTUL al III-lea
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = e x .
x
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (e) = e e−1 − e e−2 .
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 1, situat
pe graficul funct , iei f.
x
c) Demonstrat , i c˘a e − ex ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, +∞).
1
2
2. Se consider˘a funct , ia f : [1, 3] → R, f (x) = x + .
x 2
a) Calculat , i volumul corpului obt , inut prin rotirea graficului funct , iei g : [1, 3] → R,
g (x) = f (x) − 1 2 , ˆın jurul axei Ox.
x
3
R
b) Calculat , i xf(x) ln xdx.
1
c) Ar˘atat , i c˘a orice primitiv˘a a lui f este funct , ie convex˘a.
2
Profesor, Colegiul Economic ,,Ion Ghica”, Tˆargovis , te, dumitrache m0nica@yahoo.com