Page 60 - MATINF Nr. 4

˘
60 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

Analiz˘a Matematic˘a

§ 1
e x + a, x < 0
1. Fie funct , ia f : R → R, f(x) =
b · ln(x + 1), x ≥ 0
Determinat , i parametrii reali a s , i b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a s , i derivabil˘a.
1
2. Fie funct , ia f : R \ {−1, 1} → R, f(x) = .
2
x − 1
a) Descompunet , i funct , ia f ˆın fract , ii simple.
b) Determinat , i derivata de ordin n a funct , iei f.
§ 1 1
2x sin − cos , x 6= 0
3. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x x
0, x = 0
a) Determinat , i asimptotele funct , iei f.
b) Ar˘atat , i c˘a f admite primitive.
n
R x + 2
4. Fie s , irul (a n ) n , a n = 2 dx. Calculat , i limita s , irului.
1 x(x + 1)
2
3
5. Fie funct , ia f : R → R, f(x) = x + mx + nx + p. Determinat , i parametrii reali m, n, p
1
R
astfel ˆıncˆat funct , ia f s˘a admit˘a extreme locale ˆın punctele -1 s , i 1, iar f(x)dx = 2.
−1
Geometrie s , i Trigonometrie

1. Se consider˘a un triunghi isoscel ABC, (AB) ≡ (AC) s , i punctele variabile P ∈ (AB),
Q ∈ (AB) astfel ˆıncˆat (BP) ≡ (AQ). Fie O mijlocul segmentului (PQ).

a) S˘a se demonstreze c˘a d(O, BC) este constant˘a.
b) S˘a se afle locul geometric al punctului O.
_ _
2. Fie ABC un triunghi ˆınscris ˆıntr-un cerc, D s , i E mijloacelor arcelor AB s , i AC, iar F, G
intersect , iile lui DE cu AB s , i AC. S˘a se arate c˘a triunghiul AFG este isoscel.
√
3. S˘a se rezolve ecuat , ia: cos x − sin x = 2 cos 2x.
4. Unei sfere de raz˘a R i se circumscrie un trunchi de con. S , tiind c˘a raza bazei mici este de
patru ori mai mic˘a decˆat raza bazei mari, s˘a se afle aria total˘a s , i volumul trunchiului de
con.
5. Dreptele: (AC) : 3x − y + 6 = 0; (AB) : 2x + y − 6 = 0; (BC) : y = 0, formeaz˘a
triunghiul ABC.

a) S˘a se afle coordonatele vˆarfurilor, lungimile laturilor s , i aria triunghiului.
b) O paralel˘a la AB intersecteaz˘a laturile AC s , i BC ˆın D s , i E. S˘a se afle locul geometric
al punctului M de intersect , ie a dreptelor AE s , i BD.

(Admiterea la Universitatea din Pites , ti, specializ˘arile Matematic˘a s , i Matematic˘a-Informatic˘a, 1997)