Page 59 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 59

a) S˘a se precizeze domeniul maximal de definit , ie al funct , iei f.
b) S˘a se construiasc˘a graficul funct , iei f.
c) S˘a se calculeze
Z n 1 + 2 + ... + n ‹
lim n f(x)dx −
n→∞ f(1) + f(2) + ...f(n)
0
.
d) Calculat , i volumul corpului de rotat , ie determinat prin rotirea graficului restrict , iei funct , iei
f la [2, 3] ˆın jurul axei Ox.
SUBIECTUL al III-lea
ˆ
In sistemul xOy se consider˘a punctele M(m, 0), N(m − 1, 2m − 1), m ∈ (0, ∞).

a) S˘a se determine m astfel ˆıncˆat triunghiul MON s˘a fie isoscel.
b) S˘a se scrie ecuat , ia general˘a a dreptei ce trece prin punctul O(0, 0) s , i este paralela cu
dreapta MN.
c) S˘a se afle locul geometric al mijlocului medianei duse din O(0, 0) ˆın 4MON.
∗
d) S˘a se determine m ∈ N astfel ˆıncˆat aria triunghiului MON s˘a fie minim˘a (MON triunghi
nedegenerat).

Testul 3
D.M.I. 3

Algebr˘a
√
È
1. Se consider˘a funct , ia f : D → R, f(x) = log x 3x · log x, unde D este domeniul maxim
3
de definit , ie.
a) S˘a se afle mult , imea D.
b) S˘a se rezolve ecuat , ia f(x) = −1.
2. S˘a se arate c˘a:
n
P i i ∗
a) (−1) iC = 0, ∀ n ∈ N .
n
i=0
∗
b) dac˘a a 1 , a 2 , ..., a n+1 (n ∈ N ) sunt numere reale ˆın progresie aritmetic˘a, atunci avem
n
P i i
(−1) C a i+1 = 0.
n
i=0
∗
n
3. Se d˘a polinomul: P(X) = X 2n+1 − (2n + 1)X n+1 + (2n + 1)X − 1, (n ∈ N ). S˘a se
2
arate c˘a P(X) se divide prin (X − 1) s , i s˘a se calculeze cˆaturile ˆımp˘art , irilor lui P(X) prin
2
(X − 1), respectiv prin (X − 1) .
4. S˘a se rezolve s , i s˘a se discute dup˘a parametrul real m sistemul:
 2
 x + (m + 1)y + z = −m + m + 2
mx + y − z = 0
x − 2y − mz = −m + 3m − 2
 2
 „ Ž 
1 ln a 0
 
5. Se consider˘a mult , imea M = A = 0 1 0 | a ∈ (0, ∞) . S˘a se arate c˘a
0 0 1
 
ˆınmult , irea determin˘a pe mult , imea M o structur˘a de grup comutativ.
3
Universitatea din Pites , ti, revista.matinf@upit.ro