Page 56 - MATINF Nr. 4

˘
56 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

a) Aflat , i m ∈ R pentru care sistemul are solut , ie unic˘a. (5p)

2
2
2
b) Pentru m = 1, ar˘atat , i c˘a sistemul este compatibl s , i g˘asit , i min {x + y + z }. (5p)
c) Pentru m = −3, ar˘atat , i c˘a sistemul este incompatibil. (5p)
∗
n
2. Se consider˘a polinomul f = X + 5X n−2 + 1, n ∈ N .
a) S˘a se arate c˘a f nu are nici o r˘ad˘acin˘a ˆın Q. (5p)

b) Ar˘atat , i c˘a dac˘a x ∈ Q \ Z, atunci f(x) /∈ Z. (5p)
c) Ar˘atat , i c˘a f nu are toate r˘ad˘acinile reale. (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
2
mx + (m − 1)x
1. Fie funct¸ia f m = , x 6= −1, m ∈ R.
x + 1
a) Ar˘atat , i c˘a asimptotele oblice la graficele funct¸iilor din familia (f m ) m∈R trec printr-un
punct fix. (5p)
b) Determinat , i m astfel ˆıncˆat f s˘a aib˘a 2 puncte de extrem situate de o parte s , i de alta a
dreptei de ecuat , ie x = −1. (5p)

c) Pentru m = 0, determinat , i f (2020) (0). (5p)
1 x n
Z
2. Se consider˘a s , irul I n = 2 dx, n ∈ N.
0 x + 2x + 3
a) Calculat , i I 0 . (5p)

b) Ar˘atat , i c˘a (I n ) n≥0 este convergent s , i calculat , i lim I n . (5p)
n→∞
c) Determinat , i volumul corpului de rotat , ie, obt , inut prin rotirea graficului funct , iei g : [0, 1] →
x
É
R, g(x) = , ˆın jurul axei Ox. (5p)
2
x + 2x + 3
TESTUL 5

Antonio Mihail Nuic˘a 5

SUBIECTUL I (30p)
1 + 3i
1. S˘a se determine Rez, pentru z = . (5p)
3 − i
2. S˘a se determine al zecelea termen al progresiei aritmetice (a n ) n≥1 , pentru care a 2 = 3,
a 4 = 9. (5p)
√ √
3. S˘a se rezolve ecuat , ia 3 8 − x = 3 9 − 4x. (5p)

4. S˘a se determine probabilitatea ca alegˆand o funct , ie f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5},
aceasta s˘a fie injectiv˘a s , i cu proprietatea f(1) = 1. (5p)
◦
5. S˘a se calculeze sin 105 . (5p)
6. S˘a se calculeze raza cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC, pentru care AB = 3, BC = 5,
CA = 4 (5p)
5
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, antonio.nuica@upit.ro