Page 57 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 57

SUBIECTUL al II-lea (30p)


 x + αy + 2z = 1
1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii 2x + 2y + z = −1 , unde α, β ∈ R.
x + y − z = β

a) Determinat , i α s , i β astfel ˆıncˆat sistemul s˘a fie compatibil determinat. (5p)

b) Pentru α = 1, s˘a se determine β astfel ˆıncˆat sistemul s˘a fie compatibil simplu nedeterminat.
(5p)

c) Pentru α = 1, s˘a se determine β astfel ˆıncˆat sistemul s˘a fie incompatibil. (5p)
6
3
2. Fie polinomul f = X − 2X + m, m ∈ R s , i x 1 , x 2 , x 3 ∈ C r˘ad˘acinile sale.
a) S˘a se determine r˘ad˘acinile lui f pentru m = 1. (5p)

b) S˘a se determine r˘ad˘acinile lui f pentru m = 0. (5p)
c) S˘a se determine r˘ad˘acinile lui f pentru m = −3. (5p)

SUBIECTUL al III-lea (30p)
1
1. Se consider˘a funct , ia f : (−1, 0) ∪ (0, ∞) → R, f(x) = √ .
3
x + x 2
a) S˘a se determine asimptotele la graficul lui f. (5p)

b) S˘a se studieze monotonia lui f. (5p)
√
c) S˘a se determine ecuat , ia tangentei la graficul lui f ˆın (1, 1/ 2). (5p)

2. Fie f(x) = ln x, x > 0.
Z
a) S˘a se calculeze f(x)dx. (5p)

2
Z
b) S˘a se calculeze xf(x)dx. (5p)
1
e
Z
c) S˘a se calculeze |f(x)|dx. (5p)
1/2