Page 54 - MATINF Nr. 4

˘
54 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

SUBIECTUL al III-lea (30p)

x 3
1. Fie f : (1, ∞) → R, f(x) = .
ln x
a) Studiat , i monotonia funct , iei. (5p)
√ €√ Š
b) Comparat , i numerele f ( e) s , i f 7 e . (5p)
2
5
c) Determinat , i punctul ˆın care tangenta la graficul funct¸iei ˆın punctul de abscis˘a e, intersec-
teaz˘a axa Ox. (5p)
1
2. Se consider˘a funct , ia f : (0, ∞) → R, f(x) = ln x − .
x(x + 1)

a) Determinat , i primitivele funct , iei f care se anuleaz˘a ˆın 2. (5p)
b) Demonstrat , i c˘a primitivele funct , iei f sunt convexe pe (0, ∞). (5p)

e
Z
2
c) Calculat , i x f(x)dx. (5p)
1
TESTUL 3

Raluca Mihaela Georgescu 3

SUBIECTUL I (30p)
√ √ √
1. Ar˘atat , i c˘a num˘arul lg(3 + 2 2) − lg(3 − 2 2) − lg(17 + 12 2) este natural. (5p)

2. Determinat , i distant , a dintre punctele de intersect , ie ale graficului funct , iei f : R → R,
2
f(x) = x − 4x + 4 cu axele de coordonate. (5p)
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 3 2x − 3 · log 81 + log 27 = 0. (5p)
3
3
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un num˘ar din mult¸imea numerelor cu cifre distincte
ce se pot forma cu ajutorul cifrelor {1, 2, 3, 4, 5}, acesta s˘a aib˘a trei cifre. (5p)
ˆ
5. In reperul cartezian XOY se consider˘a punctele A(2, 1), B(1, 2) s , i C(4, 3). Determinat , i
ecuat , ia dreptei care trece prin punctul A s , i este paralel˘a cu mediana din B a triunghiului ABC.
(5p)

1  3π ‹
6. Determinat , i tg x, s , tiind c˘a sin x = − s , i x ∈ π, . (5p)
3 2
SUBIECTUL al II-lea (30p)


 5x + my − 3z = m + 1
1. Se consider˘a sistemul de ecuat , ii −3x + 5y + mz = 4m + 10 , unde m este un
mx − 3y + 5z = 2

parametru real.
a) Determinat , i m ∈ R astfel ˆıncˆat matricea atas , at˘a sistemului s˘a fie inversabil˘a. (5p)

b) Rezolvat , i sistemul pentru m = 1. (5p)
c) Studiat , i compatibilitatea sistemului pentru m ∈ R. (5p)

3
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, gemiral@yahoo.com