Page 53 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 53

1 x n
Z
∗
2. Pentru fiecare n ∈ N , se consider˘a numerele I n = dx.
0 x + 2
a) Calculat , i I 1 . (5p)
b) Demonstrat , i c˘a s , irul (I n ) n≥1 este monoton ¸si m˘arginit. (5p)

1
c) Verificat , i dac˘a I n+1 + 2I n = s , i determinat , i lim I n . (5p)
n + 1 n→∞

TESTUL 2

Ana Maria Iordache 2

SUBIECTUL I (30p)

1 − 3i
−1
1. Dac˘a z = , determinat , i partea real˘a a num˘arului z − 2z + z . (5p)
1 + i
2. Rezolvat , i ecuat , ia log (x − 2) + log 2(x − 2) = 3. (5p)
8
2
2
3. Aflat , i a ∈ R, astfel ˆıncˆat funct , ia f : R → (−∞, 5], f(x) = −x − 3x + 2a − 3 s˘a fie
surjectiv˘a. (5p)
4. Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un multiplu natural de 3, mai mic decat 100, acesta
s˘a se divid˘a cu 5. (5p)
ˆ
5. In reperul cartezian se consider˘a punctele A(−2, 1), B(1, 3) s , i C(0, −2). Determinat , i
coordonatele punctului de intersect , ie dintre mediana din A s , i ˆın˘alt , imea din B din triunghiul
ABC. (5p)

1 π
 ‹
6. Calculat , i sin arccos − . (5p)
3 4
SUBIECTUL al II-lea (30p)

„ Ž
1 x 0
ˆ
1. In M 3 (R) se consider˘a matricea A(x) = 0 1 −x .
0 0 1
a) Calculat , i det (A(3) − 2A(−1) + I 3 ). (5p)

b) Rezolvat , i ˆın M 3 (R) ecuat , ia A(3)X = A(−2). (5p)
20
2
c) Determinat , i matricea B = A(1) + [A(1)] + . . . + [A(1)] . (5p)
2. Pe R se consider˘a legea de compozitie

x ∗ y = xy − 4x − 4y + 20.

a) Demonstrat , i c˘a (4, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ∗. (5p)

b) Rezolvat , i ecuat , ia x ∗ x ∗ x ∗ x = 4, x ∈ R. (5p)
c) Calculat , i 0 ∗ 1 ∗ 2 ∗ . . . ∗ 2020. (5p)

2
Liceul Tehnic ,,Virgil Madgearu”, Ros , iori de Vede, anamariayord@yahoo.com