Page 50 - MATINF Nr. 4

˘
50 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE

c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare pe intervalul [1, +∞).
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = x + 4x + 3.
1 16
Z
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) d x = .
0 3
1 È
Z
b) Calculat , i (x + 2) f(x) d x.
0
c) Aflat , i num˘arul real pozitiv a, astfel ˆıncˆat volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın
x + 1 π
jurul axei Ox a graficului funct , iei g : [0, a] → R, g (x) = este egal cu .
f (x) 6

Testul 4

Maria-Crina Diaconu 4

SUBIECTUL I

1. S˘a se calculeze (2 + 2i) 2020 .
2
2. Rezolvat , i in R ecuat , ia 3 log 2 (2x −1) = 27.
3. S˘a se afle cˆate submult , imi cu 5 elemente are o mult , ime cu 7 elemente.
4. Care este probabilitatea ca alegˆand laˆıntˆamplare un element x din mult , imea {−2, −1, 0, 1, 2},
3
acesta s˘a fie solut , ie a ecuat , iei x + 2x − 3 = 0?
5. Dac˘a y = mx + n este ecuat , ia dreptei ce trece prin punctul P(4, 3) s , i este perpendicular˘a
pe dreapta de ecuat , ie x − y = 0 s˘a se calculeze n + m.
6. S˘a se determine num˘arul de solut , ii ˆın intervalul [0, 2π] ale ecuat , iei | sin x| = cos x.
SUBIECTUL al II-lea
 ‹
2 1
1. Fie matricea A = s , i mult , imea M = {X(u)/X(u) = I 2 + uA, u > −1}.
−2 −1
a) Calculat , i det(A 2020 ).
b) S˘a se arate c˘a X(u)X(v) = X(u + v + uv).
c) S˘a se calculeze X(1)X(2)...X(2020).
ˆ
ˆ
2
2. Consider˘am polinomul f = X + 3X + 2 ∈ Z 5 [X].
5
a) Ar˘atat , i c˘a a = a pentru orice a ∈ Z 5 .
ˆ
b) Determinat , i valoarea polinomului f ˆın 2.
c) Ar˘atat , i c˘a polinomul f este reductibil peste Z 5 .
SUBIECTUL al III-lea
√
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x − x + 1.
2
f(x) + 1
a) Calculat , i lim .
x→0 x
b) Determinat , i asimptotele graficului funct , iei f.
c) Studiat , i monotonia s , i convexitatea funct , iei f.
§
(2x − 1) ln x, dac˘a x ≥ 1
2. Fie f : R → R, f(x) =
x − 1, dac˘a x < 1
a) Demonstrat , i c˘a f admite primitive pe R.
Z e f(x)
b) Calculat , i d x.
1 ln x
4
Asist. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, crynutza 25@yahoo.com