Page 49 - MATINF Nr. 4

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU EXAMENE 49

b) S˘a se arate c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este cresc˘atoare pe R.
c) S˘a se calculeze volumul corpului obt , inut prin rotirea ˆın jurul axei Ox a graficului
x
funct , iei g : [1, 2] → R, g(x) = e f(x).

Testul 3

Mihai Florea Dumitrescu 3

SUBIECTUL I

1. Aflat , i numerele complexe, pur imaginare care verific˘a egalitatea |z| + ¯z + z = 1.
2
2. Se consider˘a funct , iile f : R → R, f(x) = 2x+1 s , i g : R → R, g(x) = x −5x+7. Rezolvat , i
ecuat , ia (f ◦ g) (x) = (f ◦ f) (1).
p √
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 7 + 3 x = 2.
4. Care este probabilitatea ca, alegˆand o submult , ime cu trei elemente din mult , imea
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, suma celor trei elemente s˘a se divid˘a cu 3.
ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a punctele A(2, 1),B(−1, 2) s , i C(−2, −4). Calculat , i
−→ −→
lungimea vectorului AB − 2AC.
2
6. S˘a se rezolve ecuat , ia sin (x − 3x + 2) = 0, unde x ∈ [1, 2].
SUBIECTUL al II-lea

 ‹  ‹
1 x 1 1
1. Se consider˘a matricele A (x) = s , i B (x) = , unde x este un num˘ar real.
x x 1 x
a) Ar˘atat , i c˘a − det A (−n) este par oricare ar fi num˘arul natural n.
b) Calculat , i num˘arul natural n care verific˘a egalitatea Tr [A (0) · B (0)]+Tr [A (1) · B (1)]
+... + Tr [A (n) · B (n)] = 30, unde TrX este urma matricei X.
c) Rezolvat , iˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia det [A (x) + B (x)] = det [A (x) · B (x)].
3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + aX + bX + ab, unde a s , i b sunt numere ˆıntregi nenule
s , i x 1 , x 2 s , i x 3 r˘ad˘acinile sale.
a) Aflat , i numerele ˆıntregi a s , i b astfel ˆıncˆat polinomul f se divide cu polinomul X + 1.
2
b) Pentru b = a , aflat , i valorile ˆıntregi ale lui a pentru care are loc egalitatea |x 1 | +
|x 2 | + |x 3 | = 2019.
c) Ar˘atat , i c˘a dac˘a r˘ad˘acinile polinomului f verific˘a egalitatea

1 1 1
 ‹

2
2
x + x + x 2 · + + = 1,
1 2 3 2 2 2
x x x
1 2 3
atunci b este p˘atrat perfect.
SUBIECTUL al III-lea
1
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, +∞) → R, f (x) = √ + x.
x
f (x) − f (1)
a) Calculat , i lim .
x→1 x − 1
b) Determinat , i ecuat , ia tangentei la graficul funct , iei f ˆın punctul de abscis˘a x = 1, situat
pe graficul funct , iei f.
3
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com